2015—2016学年度上学期孝感市六校教学联盟
期末联合考试
高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填在答题卡上．
1．已知集合A={ | }， B={ | }，则A∩B=（ ）
A． B．R C．(-∞，5) D．[0，5]
2．命题：“所有梯形都是等腰梯形”的否定形式是（ ）
A．所有梯形都不是等腰梯形． B．存在梯形是等腰梯形．
C．有梯形是等腰梯形，也有梯形不是等腰梯形．
D．存在梯形不是等腰梯形．
3．已知 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
4．已知点 在幂函数 的图象上，则函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数
5．在复平面中，满足等式 的复数 所对应点的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
6．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)
7．从一批产品中取出三件，设A=“三件产品全不是次品”， B= “三件产品全是次品”，
C= “三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任两个均互斥 D．任两个均不互斥
8．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．函数 的零点所在的区间为（ ）
A．（，） B．（1，2） C．(2，3) D．（3，4）
10．执行右图的程序框图，则输出的 =（ ）
A． B．4
C．6 D．8
11．已知P为抛物线 上的任意一点，
记点P到y轴的距离为d，对给定点A（3，4），
则|PA|+d的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
12.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了
某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．
13. 的展开式中，所有项系数之和为__ _．
14.已知 与 为非零向量， ，且 ，则 与 的
夹角为__ _．
15.抛掷两枚均匀的正方体骰子，则事件“其向上的点数刚好相差1”的概率为__ _．
16．已知直线 ,平面 ,且 ,给出下列命题:
①若 ∥ ,则 ⊥ ; ②若 ⊥ ,则 ∥ ;
③若 ⊥ ,则 ∥ ; ④若 ∥ ,则 ⊥
其中正确命题的序号有_____ _． （把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）已知向量 ， ，
记函数
⑴求函数 的单调增区间；
⑵ 求函数 的最值以及取得最值时 的集合.
18．（本题满分12分）已知正项数列 满足， ，且 ，
⑴求数列 的通项公式；
⑵设 ，求数列 的前n项和 ．
19．（本题满分12分）如图：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC．
（1）求多面体ABC﹣A1C1的体积；
（2）异面直线A1B与AC1所成角的大小．
20．（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率
第一组 [25,30) 120 0.6
第二组 [30,35) 195 p
第三组 [35,40) 100 0.5
第四组 [40,45) a 0.4
第五组 [45,50) 30 0.3
第六组 [50,55] 15 0.3
(1)补全频率分布直方图，并n、a、p的值；
(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X，求X的分布列和期望EX.
21．（本题满分12分）
已知函数 在区间[0，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增．
（1）求 的值；
（2）记 ，若方程 的解集恰有3个元素，求b的取值范围．
22．（本题满分12分）如图：在直角坐标系 中，设椭圆C： （a＞b＞0）的左右两个焦点分别为 ．过右焦点 与 轴垂直的直线 与椭圆C相交，其中一个交点为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的一个顶点为 ，求点M到直线 的距离；
（3）过 中点的直线 交椭圆于 两点，求 长的最大值以及相应的直线方程．
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期末考试数学(理)参考答案
1. C 2. D 3. B 4. A 5. C
6. D 7. B 8. A 9. C 10. D 11. B 12. C
13. 14. 45°
15. 16.①④
17.解：（1） …………2分
.…………3分
由 ，所以 ,
∴函数 的单调递增区间为 .…………6分
（2）
①当且仅当 ,即 时， ，
此时 的集合是 .…………8分
②当且仅当 ，即 ， ,
此时 的集合是 .…………10分
18．【解析】：此题由《教材》必修5，第47页B组第4题改编
⑴∵ ∴ ∴ 2分
又 ∴数列 是以1为首项，1为公差的等差数列 4分
∴ ∴ 6分
⑵由⑴知， ， 8分
∴
12分
19．解：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AC=2，AC⊥BC，
∴CC1⊥平面ABC，BC⊥平面AA1C1，
∵S△ABC= = ，
= = =2，
CC1=2，BC=2，
∴多面体ABC﹣A1C1的体积：
V= = +
= = ． 6分
（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A1（2，0，2），B（0，2，0），A（2，0，0），C1（0，0，2），
=（﹣2，2，﹣2）， =（﹣2，0，2），
设异面直线A1B与AC1所成角的大小为θ，
则cosθ=|cos＜ ， ＞|=| |=0，
∴异面直线A1B与AC1所成角的大小为 ． 12分
(其它解法可酌情给分)
20．解：(1)第二组的频率为1－(0.04＋0.04＋0.03＋0.02＋0.01)×5＝0.3，
∴高为0.35＝0.06.频率直方图如下：
2分
第一组的人数为1200.6＝200，频率为0.04×5＝0.2，∴n＝2000.2＝1000. 3分
由题可知，第二组的频率为0.06×5＝0.3，∴第二组的人数为1000×0.3＝300，
∴p＝195300＝0.65. 4分
第四组的频率为0.03×5＝0.15，∴第四组的人数为1000×0.15＝150，
∴a＝150×0.4＝60. 5分
(2)∵[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为
60∶30＝2∶1，∴采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，
[45,50)岁中有6人． 6分
∵随机变量X服从超几何分布，∴P(X＝0)＝C012C36C318＝5204，P(X＝1)＝C112C26C318＝1568，
P(X＝2)＝C212C16C318＝3368，P(X＝3)＝C312C06C318＝55204.∴随机变量X的分布列为:
X 0 1 2 3
P 5204
1568
3368
55204
10分
∴EX＝0×5204＋1×1568＋2×3368＋3×55204＝2. 12分
21．【解析】：【考点】利用导数研究函数的单调性和极值；根的存在性及根的个数判断．
解：（1） ， 2分
因为函数 在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以x=1是 的极值点，所以 ，即 ．
解得 ，经检验满足题意，所以 ． 6分
（2）由 整理可得 ，
由题意知此方程有三个不相等的实数根，又 为方程的一实数根，
则方程 应有两个不相等的非零实根， 9分
所以△＞0，且 ，即 且 ，
解得 且 ，所以所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）． 12分
22．解：（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆可得 ，
由M（ ，1），即有 ， ，又 ，解得 ，
则椭圆方程为 ； 4分
（2）由题意可得B（0，﹣ ），F1（﹣ ，0），直线BF1的方程为x+y+ =0，
则点M到直线BF1的距离为 =2+ ； 8分
（3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣ ），代入椭圆方程，可得（2+m2）y2﹣m2y+ m2﹣4=0，由于中点（0， ）在椭圆内，故直线与椭圆相交，
设交点P（x1，y1），Q（x2，y2），即有y1+y2= ，y1y2= ，
弦长|PQ|= •|y1﹣y2|= •
= ，令t=2+m2（t≥2），
则|PQ|= = ，
当m=0即t=2时，取得最小值2 ，即有2 ≤|PQ|＜ ；
当直线l1：y= 时，代入椭圆方程，可得x=± ，
即有|PQ|= ．
综上可得，|PQ|的最大值为 ，此时直线方程为y= ． 12分
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