肇庆市中小学教学质量评估2017届高中毕业班第三次统一检测题理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合,，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数
（A） （B） （C） （D）
（3）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为
（A） （B） （C） （D）
（4）已知为锐角，且，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（5）椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（6）某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为
（A）2 （B）3
（C）4 （D）6
（7）设函数，则
（A）在单调递增，其图象关于直线对称
（B）在单调递增，其图象关于直线对称
（C）在单调递减，其图象关于直线对称
（D）在单调递减，其图象关于直线对称
（8）如图所示是计算函数的值的程序框图，
在①②③处应分别填入的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（10）当实数满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（11）在棱长为1的正方体中，，是线段（含端点）上的一动点， 则
①； ②；
③三棱锥的体积为定值；
④与所成的最大角为90.
上述命题中正确的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（12）定义在上的函数满足，.若关于的方程有5个不同实根，则正实数的取值范围是
（A） （B）来源:学科网 （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则＝ ▲ .
（14）的展开式中，的系数是 ▲ .
（15）2名男生和3名女生共5名同学站成一排，则3名女生中有且只有2名女生相邻的概率是 ▲ .
（16）在平面四边形中，. 设CD=，则的取值范围是 ▲ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
等差数列中，，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前项和.
（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，表示当天的利润（单位：元），求的分布列、数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.
（19）（本小题满分12分）
在四棱锥中，，，是的中点，面面.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若,，求二面角的余弦值.
（20）（本小题满分12分）
已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）四边形EFGH的四个顶点都在曲线上，且对角线EG，FH过原点，若，求证：四边形EFGH的面积为定值，并求出此定值.
（21）（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）讨论的单调区间；
（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数， 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线与曲线交于两点，求的最大值和最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）当，解不等式；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
2017届高中毕业班第三次统一检测题
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C C A A D A D B B D D D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设首项为，公差为，依题意有 （2分）
解得. （4分）
所以. （6分）
（Ⅱ） （7分）
，
， （8分）
两式相减得 （9分）
（10分）
（11分）
所以 . （12分）
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当时，； （1分）
当时，； （2分）
所以 （3分）
（Ⅱ）（i）可取，， （4分）
，，
的分布列为
（7分）
（8分）
（9分）
（ii）若购进17枝时，则当天的利润为
（11分）
因为76.4>76，所以应购进17枝. （12分）
（19）（本小题满分12分）
解法一：
（Ⅰ）证明：取的中点，连接. （1分）
因为是的中位线，所以. （2分）
又，所以，所以四边形是平行四边形. （3分）
所以，又所以. （5分）
（Ⅱ）取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形.
所以，所以在以为直径的圆上. （6分）
所以，可得. （7分）
过做于，因为面面，且面面=，
所以面，所以. （8分）
过做于，则面，连接，则，所以是二面角的平面角. （9分）
在中，，连接，. （10分）
在中，， （11分）
，即二面角的余弦值. （12分）
解法二：
（Ⅰ）证明：延长交于点，连接. （1分）
因为，所以是的中位线. （2分）
，所以是的中位线，
所以. （3分）
又所以. （5分）
（Ⅱ）易得是等边三角形，所以. （6分）
因为面面，且面面=，
所以面，所以. （7分）
所以，连接，则. （8分）
因为，连接，则. （9分）
所以是二面角的平面角. （10分）
在中，，所以二面角的余弦值.
（12分）
解法三：
（Ⅰ）证明：与解法一相同.
（Ⅱ）取的中点，连接，则.
所以四边形是平行四边形，
所以，所以在以为直径的圆上，
所以. 因为面面，且面面=，所以面. （6分）
如图以为原点，方向分别为轴正方向，轴正方向建立空间直角坐标系.
可得，. （7分）
设，，依题意有，，
解得. （8分）
，，. （9分）
设面的一个法向量为，则即
得方程的一组解为. （10分）
为面的一个法向量，且，设二面角的大小为，
则有，即二面角的余弦值. （12分）
（20）（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：因为在线段的中垂线上，所以. （1分）
所以， （2分）
所以轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， （3分）
故轨迹的方程. （4分）
（Ⅱ）证明：不妨设点E、H位于x轴的上方，则直线EH的斜率存在，设EH的方程为，. （5分）
联立，得，
则. ① （6分）
由，
得. ② （7分）
由①、②，得. ③ （8分）
设原点到直线EH的距离为， （9分）
， （10分）
④ （11分）
由③、④，得，故四边形EFGH的面积为定值，且定值为.
（12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）定义域是，. （1分）
令.
当，即时， 恒成立，即，所以的单调增区间为； （2分）
当时，即或时，方程有两个不等的实根，
.
若，由得，，所以在成立，即，所以的单调增区间为； （3分）
若，由得，，
由得的范围是，由得的范围，
即的单调递增区间为，的单调递减区间为.（4分）
综上所述，当时，的单调递增区间为
，
的单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无递减区间. （5分）
（Ⅱ）由，得，
即，即，即.
（7分）
由（Ⅰ）可知当时，的单调递增区间为，又， （8分）
所以当时，，当时，；
又当时，，当时，；
所以，即原不等式成立. （9分）
由（Ⅰ）可知当时，在单调递增，在单调递减，
且，得，， （10分）
而，所以与条件矛盾. （11分）
综上所述，的取值范围是. （12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ），（2分）
，即. （4分）
即 ①，故曲线是圆. （5分）
（Ⅱ）将曲线的参数方程代入①，化简得. （7分）
， （8分）
当时，取得最大值；当时，取得最小值. （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由，得， （1分）
两边平方，并整理得， （2分）
所以不等式的解集为. （4分）
（Ⅱ）法一：
由，得，即. （5分）
令，依题意可得. （6分）
， （8分）
当且仅当时，上述不等式的等号同时成立，所以.（9分）
所以的取值范围是. （10分）
法二：
由，得，即. （5分）
令，依题意可得. （6分）
， （7分）
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值. （9分）
故的取值范围是. （10分）
