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山东省德州市2017届高三下学期4月二模考试
高三数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数（是虚数单位，）是纯虚数，则复数的模等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.已知平面向量和的夹角为，，，则（ ）
A．20 B．12 C． D．
4.已知，，且，那么（ ）
A． B． C． D．
5.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
6.某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如表：
广告费用 2 3 4 5
销售额 26 39 49 54
根据上表可得回归方程，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（ ）万元
A．63.6 B．65.5 C．72 D．67.7
7.下列说法正确的是（ ）
A．命题“，使得”的否定是：“，”
B．命题“若，则或”的否命题是：“若，则或”
C．直线：，：，的充要条件是
D．命题“若，则”的逆否命题是真命题
8.已知双曲线（，）的两条渐进线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率（ ）
A． B． C． D．
9.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数设方程（）的四个实根从小到大依次为，，，，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知函数则 ．
12.在长为5的线段上任取一点，以为边长作等边三角形，则此三角形的面积介于和的概率为 ．
13.设，满足约束条件则的最大值为 ．
14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．
15.若对任意的，均有成立，则称函数为函数到函数在区间上的“任性函数”．已知函数，，，且是到在区间上的“任性函数”，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：
（Ⅰ）求甲流水线样本合格的频率；
（Ⅱ）从乙流水线上重量值落在内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有一件合格的概率．
17.已知函数，.
（Ⅰ）求函数的值域；
（Ⅱ）已知锐角的两边长，分别为函数的最小值与最大值，且的外接圆半径为，求的面积．
18.如图，在四棱锥中，四边形为矩形，为的中点，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面平面．
19.已知等比数列的前项和为，且（）．
（Ⅰ）求的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求的前项和．
20.已知椭圆：经过点，左右焦点分别为、，圆与直线相交所得弦长为2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设是椭圆上不在轴上的一个动点，为坐标原点，过点作的平行线交椭圆于、两个不同的点，求的取值范围．
21.已知函数，．
（Ⅰ）当时，求函数的极值；
（Ⅱ）当时，讨论函数单调性；
（Ⅲ）是否存在实数，对任意的，，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
高三数学（文科）试题答案
一、选择题
1-5: 6-10:
二、填空题
11. 12. 13.52 14.8 15.
三、解答题
16.解：（Ⅰ）由表知甲流水线样本中合格品数为，
故甲流水线样本中合格品的频率为．
（Ⅱ）乙流水线上重量值落在内的合格产品件数为，
不合格产品件数为．
设合格产品的编号为，，，，不合格产品的编号为，．
抽取2件产品的基本事件空间为，，，，，，，，，，，，，，共15个．
用表示“２件产品恰好只有一件合格”这一基本事件，则，，，，，，，共8个，
故所求概率．
17.解：（Ⅰ）
，
∵，∴，
∴，
∴函数的值域为．
（Ⅱ）依题意，，的外接圆半径，，，，，
，
∴ ．
18.证明：（Ⅰ）连接交于，则为中点，连接，
∵为的中点，为中点，
∴，
又面，面，
∴平面．
（Ⅱ）∵，，，
∴，∴，
又四边形为矩形，
∴，又、在平面内且相交，
∴平面，
又平面，
∴平面平面．
19.解：（Ⅰ）∵等比数列满足（），
时，；
时，.
∴，时也成立，∴，解得，
∴.
（Ⅱ）.
当为奇数时，；
当为偶数时，.
综上，．
20.解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线的距离为1，即，所以，
又椭圆经过点，所以，得到，
所以椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设，，，的方程为，
则的方程为.
由得即
所以，
由，得，
所以，，
，
所以，
因为，所以，即，即，
所以，即的取值范围为．
21.解：（Ⅰ）当时，
，．
当或时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以时，；
时，．
（Ⅱ）当时，，
①当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减；
②当，即时，在上恒成立，此时单调递增；
③当，即时，由可得或，此时单调递增；由可得，此时单调递减．
综上：当时，增区间为，，减区间为；
当时，增区间为，无减区间；
当时，增区间为，，减区间为．
（Ⅲ）假设存在实数，对任意的，，且，有恒成立，
不妨设，则由恒成立可得：恒成立，
令，则在上单调递增，所以恒成立，
即恒成立，
∴，即恒成立，又，
∴在时恒成立，
∴，
∴当时，对任意的，，且，有恒成立.
