2010年全国硕士研究生入学考试将于1月9日至11日举行，共有140万考生在全国各地应试。中国教育在线考研频道提醒广大考生从容应对、诚信为本。作为中国权威考研门户，中国教育在线考研频道也将在第一时间邀请各路名师点评2010年考研试题，敬请关注。

考研数学辅导“三剑客”:张永怀(左)、武忠祥(中)、张卓奎(右) 查看视频

主持人：各位网友大家晚上好，今天有幸请到海天的张永怀老师，武忠祥老师和张卓奎老师在教育在线访谈间，给大家点评一下数学真题，请各位老师给网友打声招呼。

武忠祥：大家好。

张永怀：大家好。

张卓奎：大家好。

主持人：我们知道武老师主要是高数这部分，请吴老师对高数部分做一个点评。

武忠祥：各位网友，各位考生大家好，今天很高兴有这样一个机会，就2010年数学考研的基本情况跟大家做一个分析和交流，我先就高等数学部分给谈一下一些具体的情况。我个人认为，2010年，考研数学卷里面高等数学部分，绝大部分题目还是跟往年一样，检查的是一些重点的内容，但是要说有些变化的话，就是它的卷子里面考生可能也有这个感觉，整个卷子里面有那么一两道题做起来不是很顺手，因为这些题考到一些非重点的部分，比如说我们数学一卷子和二卷子里面，考双重求和的问题，这些显然是非重点的内容，过去二十多年的卷子从来没有考过的知识点今年拿出来考这是一道题。还有关于反常积分的问题，过去二十多年从来没有考过，但是今年拿出一道小题考，这些大纲要求的，但是非重点，从来没有考过，考生复习的时候，可能这部分花的时间相对少一些，拿到这种题感觉到有点怕。但是实际上仔细看这题不是很难，除了个别题以外，绝大部分还是和往年一样，考重点的内容，重要的知识点，常考的题型，这个实际上很多考生可能也有体会，我们在原来复习过程当中，这些都复习到了，包括他最后的数学2和数学3，高等数学部分最后最难的题，牵涉到积分中值定率，这在后面强化班，都做了训练，考生不会感觉到困难，就是刚才过去从来没有考过的两个知识点，考生拿到以后，可能看到这个题有点怕，因为没有见过这种题，也应该是今年一个特点。当然总体来讲，我个人认为就高等数学部分，整个今年的卷子比去年的卷子稍微难一些，那么这样一来，我个人感觉分数线，很多考生关心分数线，我个人认为今年的分数的应该比去年低一些。

另外还有一个特点就是，我们2008和2009年考卷里面，高等数学连着两年都是出定律，很多学生怕2010年会不会再考这个，如果复习，我们当时给考生说了，也有可能，但是这个给大家划了范围，复习起来更方便一些，但是从今年卷子看，今年没有再出定律证明，这跟前两年不一样的地方。应该说他这个难题又回到2008年以前的那样一个规律，考正命题，这个部分回到过去老路。还有一个感觉，今年卷子里面有些题运算量还是蛮大的，这个对于考生可能有一些影响，因为占用时间比较多。我觉得这个是高等数学部分几个主要的特点。当然还有一个特点就是数学3的卷子，整个无穷级数都没有考，去年考卷里面，因为命题人肯定也考虑到，过去数学4不要级数，很多人大学没有学级数，所以去年只考一道四分填空题，考得非常少，但是今年一道题都没有出，这过去是没有过的。我想明年也绝对不会这样子，明年肯定会出，这是数学3今年很大的特点。有关高等数学部分我就先谈这些。

主持人：也感谢我们武老师跟我们分享这么多关于高等数学里面大概一些变化，可能今年变化比较大一些，关于线性代数这个部分请张永怀老师分享一下。

张永怀：今年线性代数拿到题以后感觉很高兴，因为平时在课堂上跟同学们，跟海天同学们强调一些地方刚好考到了，而且这些地方如果老师上课不强调的话，有可能反而成为一个困难的问题，你比如说我就两个比较突出的问题谈一下，第一个关于矩阵越乘秩越小，这个问题反复强调，而且编一个小口诀，叫七字方针，七个字，今年我们数学1的第五个小题，就是需要利用一个矩阵越乘秩越小这样一个论证来论证这个问题。而这个题我们刚好在考班的时候跟同学们讲了一个一模一样的题。利用A矩阵的秩不超过它的行数和列数当中较小的一个，这个可以确定出来。再比如说农学联考第13个小题，给了两行三列的矩阵A，让你填空，这个矩阵的行列式的值等于多少，这个问题我们知道A的矩阵的转置乘以A，变成三行三列的方阵，它的秩不超过A的秩，A是两行三列的，所以秩小于等于2和3当中小的一个，小于等于2，于是它的行列等于零，这个题用秒来计时，非常快解决，没有什么运算，非常简单。

还有一个问题在讲课时候比较突出的，我把它归结为这样一个类型的问题，就是叫做抽象矩阵，考察它是否可以对角化的问题。那么我们知道一个，比如说一个四阶的矩阵可以对角化，这个问题比如说今年的考题，数学1、2、3包括农学联考，唯一公共一个考题，就涉及到我所说的抽象矩阵对角化的问题，他是这样一个问题，给了一个四阶的矩阵A，秩告诉你是3，而且A的平方加A等于零矩阵，四个选项，说A矩阵跟下面哪一个矩阵是相似的，这个问题就是属于我刚才所说的抽象矩阵可对角化的问题，那么这个问题我们在平时给大家训练非常多，强化班，冲刺班都有训练，这个题对海天的同学来说绝对是手到擒来的问题，但是如果没有经过类似训练的，拿到这个题可能认为它是一个难题，所以我认为海天以外的同学，如果丢分，这个题丢分概率比较大一些，而我们海天同学这一块是受益的，因为我给大家讲一个非常简便的方法。把A平方加A等于零，改成A乘A等于负A，将A按列分块，代入到这个等式当中，于是得到A乘A矩阵的各列等于-1乘以A的各列，由于A矩阵的秩等于3，所以我们立刻得出A属于特征值-1，有三个线性无关的特征向量，它恰好有4个线性无关的特征向量，刚好可对角化，其主对角元就是三个-1，一个零，这个对于海天同学来说不超过30秒就可以做出来，没有问题。关于这个问题我还有一个补充，我认为这个题在原题当中有一个条件是多余的，在题目当中要求A是对称矩阵，根本没有必要，我刚才解答这个问题的时候，没有用到A是对称矩阵，他照样对角化，所以这个题我认为条件是多余的。

整个考卷，数学1、2、3，包括农学联考，正如我平时告诉海天同学们一样，数学1比数学2、3包括农学联考多了一些向量空间的知识，在数学1的十三题有所体现，这个题太简单了，给了三个向量，求一个参数，这个题不要30秒可以解决，是送分的题，其余各个部分，实际上1、2、3，包括农学联考的同学，要求都是一样的。包括今年农学联考有好几个题跟1、2、3几乎是一模一样，有的完全类似，有的一模一样，所以总体上要求就是这样子。所以我希望将来有下一届的同学再复习的时候，要注意到这个特点，按照平时一定要听老师的话，老师在线性代数这一块给同学们的要求，一分都不要丢，这是可以做到的。那么我们整个的数学，尤其是高等数学这一块，他容易出一些把关的题，稍微难一点的题，线性代数这一块，大家只要按照老师思路去复习，真的可以做到一分不丢的，好，我就谈这么多。

主持人：谢谢张永怀老师，我们也知道高数和概率这一块是经常会出难题的，请张卓奎老师帮我们分享一下在概率这一块今年考题有哪些特点？

张卓奎：好的，各位网友大家好，今年的考研数学今天已经结束了，就今年的概率统计，我想谈自己一些体会。对于我们的数学1和数学3这两套试卷的概率统计来看，我们发现数学1当中的填空选择，还有解答题仍然是按照我们所给大家把握或预测的考法考的，没有跑出我们的范围。可惜就是，在我们解答题当中，解答的第一个就是试卷当中的第22题，它是一个常规问题，就是给出一个二维的概率密度函数，求其中含有常数A，这个大家非常清楚知道，但是这个在算的过程当中牵涉一个问题，算到高等数学当中用到的一个负无穷到正无穷上的一个值，从积分范围求它，我们也可以根据概率密度得到它，负无穷到正无穷的积分，虽然这个题看起来计算量较大一点，只要利用这样一个结果算起来也很方便，这是这一个问题当中的情况。第二个解答题当中，就出现了这样一个问题，虽然从题目的表面上来看，没有超出我们所预测的无偏的范围，当时我说过，今年肯定在求统计量特征方面要命题，确实存在这一方面的命题。但是可惜的是，大家可能对这个问题的理解上有一点歧异。那么此时给出一个统计量，用AI与NI作为线性组合给出来的，其中NI表示就是我们样本当中含有I的个数，这个一旦给出来之后，好多考生认为这就是一个常数，此时由它得到一个线性组合，告诉大家是一个无偏估计量，此时再求它的时候可能产生问题，主要在于NI是取I的个数，就是X取I值的时候，有一定的概率，其实把它理解为随机变量函数，如果把这个问题这样一转换的话，底下其实没有什么问题。

我就担心的是，我们的同学可能在这个地方不会好好的转化，或者说没有把它好好转换过来，在这个上面造成一定的失误，这是今年可能在概率统计当中对数学1的同学而言是失分的地方。数学3的试卷和数学1完全一样，14题填空，只要把我在平时讲过的关于同分布的随机变量有相同的数字特征，知道这个以后就不难求答，一看就能得到结论的结果。22题和数学1的题完全一样，也是考概率密度性质的这样一些问题，23题就是复习当中完全涉及的，通过一个古典概率引进几个随机变量，求随机变量分布率的问题，在冲刺，在模拟，以及在强化当中都经常讲过的问题，所以对于数学3我感到非常放心。而数学1的话，就最后一个关于数理统计的，确定AI的值，进而求统计量的数学期望，这个可能大家如果不会转化的话容易造成失分，这个大家在概率统计对数学1的同学来说，可能感到不满意的一个地方。对于我们总体来看，数学1、数学3的概率统计我们还是满意的，完全在我们的预测范围之内，而且选择、填空完全可以按照我们以前预测的，直接可以作答。比方数学1第一个选择题就是整个试卷当中排行第七个题，他告诉一个随机变量它的分布函数，求随机变量等于1它的概率，就是已知一个分布函数求分布律的问题，他没有把所有取值概率全部做出来，而做了一个。我们在曾经复习或者训练当中，把所有取值概率都计算出来，其中一个也不在话下，都在我们掌控范围之内。

总而言之，对于今年数学1和数学3的概率统计当中，还是相当满意的，除了数学1当中的最后一道题造成理解上，以及在计算上有一点点小的失误之外，其他还是没有什么问题的。这就是数学1和数学3的概率统计的特点。以后建议我们的同学在复习我们的概率统计的时候，希望我们在老师的复习之后，还要灵活对待，也就是说，我们虽然给出来一般的方法，但是特殊的情况还要进行特殊的转化，变通，使我们能够造成灵活运用，达到这样一个效果，这就是我对来年同学的希望。关于概率统计就跟大家谈这些，因为它和我们所预测的差不多。

主持人：谢谢张卓奎老师，我们觉得听完了三位老师的点评以后，我们觉得如果是同学严格按照三位老师讲的做，或者去复习的话，应该数学我觉得拿满分应该还是存在大多数的学生可以这样的。对于2011年的学生来讲，可能这次考试也是一个信号，给对方有一个大的方向，我们也想请武忠祥老师帮我们指导一下，这次的考试对我们2011年的学生有一个什么样的引导作用？

武忠祥：下面我就对2011年参加考研的同学，主要提三点建议。第一，不光从2010年，从近多少年的考卷都可以看出来，还是比较注重于考基本概念，基本理论，基本方法。所以复习的时候，首先抓基本概念，基本理论，基本方法，这个基础一定要打好，有这些基础其他东西都是通的。这是第一个强调的。第二个强调的是我们应该抓重点，但是在全面复习的基础上抓重点，所以一定要全面复习，抓重点就是重点地方要多花时间，不是说非重点地方我就不去看，只看重点，这个就是一种失误。从2010年的考卷可以看出来，我刚才前面也提到，有两道题，过去二十多年都没有考过，但是10年就在那个地方考你，所以这些东西显然是非重点，但是两个地方就出到了题目，这实际上也是一种信号，告诉你们同学，重点当然是，我们作为复习也好，命题也好，当然是重点考，但是非重点并不代表一定不考，所以我们复习的时候，重点要多下工夫，但是非重点只要他要求的，一定要全面复习，这一点不能疏忽，这是第二点。那么第三点，我觉得数学跟政治、英语还不太一样，政治、英语很多东西可能是要记，但是数学很多东西是要理解，另外要通过做题加深对概念，理论的理解，同时从做题掌握一些方法，另外从做题也能够对每一种问题里面的常碰到的运算练熟，因为数学很多题要算。如果平时没做过，你说考场上一算就能算得对，这种机率太小了，所以很多东西基本用算，方法原理要知道，另外一定做一定量的题，把里面经常碰到的基本运算练熟，熟能生巧，考场上大家可能有共同的体会都是，觉得数学考试时间不够，时间非常紧，在什么地方赢得时间呢，每道题方法的选取很重要，另外一个方面，就有些题它没有太好的特殊的方法，他就要有一定的运算量，但是这个东西就是平时一定要多练，勤动手，把它练熟。

我们过去碰到一些考生，他做题不太动手，草稿纸上一看，划两下知道这个题大概怎么做，这种考生在考场上肯定吃亏的。所以，就是作为数学复习的话，我觉得一个要勤动手，这个应该特别注意。另外一点实际上刚才两位张老师也谈到，只要跟着我们老师，按照老师指点的重点和方向去复习，我想对每一个考生来讲，取得一个比较满意的成绩是没有问题的。所以，复习的方向一定要对，我就先谈这一点。

张永怀：我再补一个问题，你比如说今年数学2的第14题和数学3的第13题，这是一个共同的题，这个题我们平时也非常强调，但是如果有的同学，比如像武老师所说的，光是喜欢背着手来学习数学，那是绝对不行的，一定要动手，要练要写，不能光在那儿看想，那样是学不好数学的，要动手练。比如象这样一个问题，给了两个三阶的方阵，A的行列式等于3，B的行列式等于2，A的逆加B的行列式等于2，然后填空题，A矩阵加上B的逆矩阵，这个矩阵的行列式等于什么？那么这个问题我们在平时的时候非常强调，我还特别提醒同学们，我说你们遇到这个问题千万不要临时杜撰兴致：刚好等于A的行列式加上B的逆矩阵的行列式，这样算就是非常严重的错误，我们遇到这种问题怎么办呢，设法把A加上B的逆矩阵变成几个矩阵的乘积，利用行列式就可以算出来。把A加上B的逆矩阵变成几个矩阵乘积的时候，我们又跟大家说过口诀，比如说数学当中的常用手段，这个实际上不管在高等数学还是概率当中，尤其在高数和现代常常做无中生有。比如数的运算当中乘积中1是可以省略的，而矩阵的乘积运算当中，单位阵也是可以省略的，在做运算在做恒等变形的时候利用这一点，像刚才这个问题就是利用这个点，把A加B的逆利用矩阵的运算，利用无中生有把这个单位阵想出来，最后可以把它转化成A乘以B加A的逆矩阵再乘B的逆。

所以我还是那句话，希望同学们在听辅导班课的时候，不要光听热闹，一定要把老师给你传达的一些重要的思想方法转化成自己的东西，而且还告诉你们了，一定要学数学不光是动脑子，动眼睛看，还要勤于动手，一定要听老师的话，不要光听的时候很乐呵，老师讲的挺热闹，挺好，挺高兴的，完了以后没有成为自己的东西，这样的话也不会取得好的效果。我就谈这么多。

张卓奎：要补充的话还是两位老师所说的，在我们复习当中，关于概率统计，那么它的基本概念和基本思想，基本方法显得尤为重要，曾经在我们海天上课的时候，曾经有一句话，就是在我们概念清晰的基础之上，对于我们选择填空，至于解答题都有一句话，就叫不算得到值才叫高，今年通过数学1数学3看到考题之后，能够深深体会到这一点。比方在数学1、数学3当中的第一个解答题，都体现我这样一个精神，只要把这样一个思想理解在，或者说实施在我们复习过程当中，对于一些重要的结果，重要的理论和重要的方法掌握牢固之后，在自己已有的知识基础之上，像选择直接一看就是哪一个，像填空直接不用做就知道结果，从数学1、数学3当中体现的非常显然，就是这样的情况。所以我还是建议我们2011年的考生，我们的同学，在复习概率统计，甚至我们的数学过程当中，应该深深体会到这一点，然后做到一些重要的结果随时用，重要的方法随时拿来使用，使我们在考试的时候赢得好多的时间，这就是我最后要补充的这么一点。

主持人：好，今天感谢三位老师来到中国教育在线聊天室，今天由于时间的关系，我们就暂时聊到这里，今天感谢老师。

张永怀：谢谢老师