点击下载：重庆市2017届高三4月调研测试（二诊）数学文
2017年普通高等学校招生全国统一考试
4月调研测试卷 文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．2 D． 4
4．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
5． 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）
A．10日 B． 20日 C． 30日 D．40日
6． 设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
7． 方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）
A．15 B．18 C． 19 D．20
9． 如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中，，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）
A． B． C． D．
10． 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
11． 设为双曲线：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A． 3 B． 1或3 C． 4或6 D．3或4或6
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若关于的不等式的解集为，则 ．
14．设中，角所对的边分别为，若的面积为，则 ．
15． 甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．
16． 设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知等差数列的前项和为，，．
（1）求；
（2）设数列的前项和为，证明：．
18． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小王的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；
（2）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
附：，
0．10 0．05 0．025 0．010
2．706 3．841 5．024 6．635
19． 如图，矩形中，，，为的中点，将沿折到的位置，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求三棱锥的体积．
20． 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．
21． 已知函数，．
（1）分别求函数与在区间上的极值；
（2）求证：对任意，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若的最小值为2，求的值；
（2）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
试卷答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试
4月调研测试卷 文科数学
一、选择题
1～6 DCCBBC 7～12 AAABBB
第（11）题解析：，，设双曲线的左焦点为，连接，
由对称性可知，为矩形，且，
故.
第（12）题解析：，在和上单增，
上单减，又当时，
时，故的图象大致为：
令，则方程必有两根且，
当时恰有，此时有1个根，有2个根；
当时必有，此时无根，有3个根；
当时必有，此时有2个根，有1个根；
综上，对任意，方程均有3个根.
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
第（15）题解析：由甲的中位数大于乙的中位数知，，又由甲的平均数大于乙的平均数知，
即，故所求概率为.
第（16）题解析：函数的图象如图所示，结合图象易得，
当时，.
三、解答题
（17）解：（Ⅰ），，
，；
（Ⅱ）
.
（18）解：（Ⅰ）由题知，40人中该日走路步数超过5000步的有34人，频率为，所以估计他的所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为；
（Ⅱ）
，故没有95%以上的把握认为二者有关.
（19）解：（Ⅰ）由题知，在矩形中，，，又，
面，面面；
（Ⅱ）.
（20）解：（Ⅰ）由题知，故，代入椭圆的方程得，又，
故，椭圆；
（Ⅱ）由题知，直线不与轴重合，故可设，由得，
设，则，由与关于原点对称知，
，
，，即，当且仅当时等号成立，
面积的最大值为3，此时直线的方程为
（21）解：（Ⅰ），，
故在和上递减，在上递增，
在上有极小值，无极大值；，，
故在上递增，在上递减，
在上有极大值，无极小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，，故；
当时，，令，则，
故在上递增，在上递减，，；
综上，对任意，.
（22）解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角
坐标方程联立，得，整理得
，则.
（23）解：（Ⅰ），当且仅当取介于和之间的数时，等号成立，故的最小值为，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，故，使成立，即 ，
