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2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
数学试卷（理科）
一、选择题
1．已知集合，,则
A. B. C. D.
2．复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是
A. B. C. D.
3．若椭圆C：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
4．在中，，，则角的正弦值为
A. B. C. D.
5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是
A. B.
C. 1 D.
6．已知向量，，向量在方向上的投影为2.
若//，则的大小为
A.. B. C. D.
7．执行如图的程序框图，输出的的值是
A. 28 B. 36 C. 45 D. 55
8．若以函数的图像中相邻三个最值点为顶点的
三角形是面积为1的直角三角形，则的值为
A.1 B. 2 C. D.
9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4,是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
10.定义设，则由函数的图像与轴、直线所围成的封闭图形的面积为
A. B. C. D.
11．函数是
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 既是奇函数也是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数
12．设实数同时满足关系: ，则实数的最大值为
A.2 B. C. 3 D. 【
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.
13．设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是
14若锐角满足，，则 ▲ ．
15. 过动点作圆:的切线,其中为切点，若(为坐标原点)，则的最小值是 ▲ .
16．定义在上的函数，如果存在函数，为常数），使得
对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数.给出如下命题:
①函数是函数的一个承托函数;
②函数是函数的一个承托函数;
③若函数是函数的一个承托函数,则的取值范围是;
④值域是的函数不存在承托函数.
其中正确的命题的个数为 ▲ .
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知数列的前项和满足:.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求证：.
18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
2 5 8 9 11
12 10 8 8 7
（1）求出与的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温~，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.
附: ①回归方程中, ,.
②≈3.2, ≈1.8.若~,则,
.
19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，，，.
（1）若E是线段上的点且满足,
求证: 平面⊥平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点,过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）.
(1)若,求直线的方程;
(2)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上,直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长的最小值.
21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆E的极坐标方程为，以极点为原点、极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中≥0，.若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆E相交于点A(A点不是原点).(1)求点A的极坐标;
(2)设直线过线段的中点,且直线交圆E于B,C两点,求的最大值.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）解不等式；
（2）若满足（1）中不等式，求证：.
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试
数学试卷（理科）答案与评分标准
一、选择题
1．B 2．A 3．C 4．A
5．D 6．D 7．C 8．C
9．A 10.C 11．D
12．B
解： 将题设条件变形为，
代入由柯西不等式得如下不等式
有，解这个一元二次不等式，得
所以，当时，实数取得最大值
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.
13．14
14
15.
16．2
三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
解：（1）第一类解法：
当n=1时，.............................................1分
当时......................................2分
....................................3分
....................................................4分
而也满足......................................5分
∴数列的通项公式为....................................6分
第二类解法：
........................................1分
...............................2分
..............................................3分
∴数列的通项公式为....................................4分
第三类解法：
.....1分; ....1分;......1分,共3分
第四类解法：
由Sn可知等差数列.................................2分
且，....................................4分
∴数列的通项公式为....................................5分
（2）∵,∴........................7分
..................................8分
则......................9分
.................................10分
..................................11分
..............................................................12分
18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
附: ①回归方程中, ,.
②≈3.2, ≈1.8.若~,则,
.
解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】
(1) ∵令,,...................1分
【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】
∴ ................................2分
...........................................3分
∴ .............................................4分
【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接
给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】
∴ （或者：） ......................5分
∴所求的回归方程是 ...............................6分
(2) 由知与之间是负相关， ...............................7分
【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】
将代入回归方程可预测该店当日的销售量(千克)
（或者：） ...............................8分
【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】
(3)由(1)知，又由
得 .....................................................9分
【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】
从而 ..........................10分
......................11分
【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】
................................12分
【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】
19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
解:(1) 解法(一): ,
,.. .......1分（没有这一步扣一分）
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .......2分
设M是BD的中点,连接...............................................2分
C C1⊥平面ABCD, .
M是BD的中点,⊥...........................................3分
,,,
,. ...................... .....4分
,⊥.....................5分
（证得⊥或也行）
与相交于D, ⊥平面.
在平面内, 平面⊥平面............................6分
解法(二): 设M是BD的中点,连接EM和............................1分
⊥且共线. ⊥,⊥.
EA⊥平面ABCD, C C1⊥平面ABCD ,
∠是二面角的平面角...........................2分
,
,......................3分(正确计算出才给这1分)
,,………………4分(至少算出一个)
..........................................5分
,即⊥.二面角的平面角为直角.
平面EBD⊥平面..............................................6分
解法(三): ,,.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .......1分
设M是BD的中点,连接EM和..
⊥且共线. ..........................2分
EA⊥平面ABCD, C C1⊥平面ABCD ,⊥,⊥.
∠是二面角的平面角...................................3分
则，,..........4分(至少正确写出一个点的坐标)
,.
...............5分
⊥,∠,
二面角的平面角为直角,平面EBD⊥平面......................6分
解法四: 连结,,,交点为和，如图.
,
,.以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. .......1分
则是BD的中点.
C C1⊥平面ABCD, 是BD的中点,
. 是BD的中点,⊥......3分
,,,.
,⊥...................5分
与相交于O, ⊥平面.
在平面内, 平面⊥平面............................6分
(2) 解法一: (若第1问已经建系)
，⊥平面，是平面的一个法向量......8分
,， ，
设平面的法向量是,则，，
取得.平面的法量................10分
【另解：由（1）知当时，⊥平面，则平面的法向量是
=】
..........................................11分
由图可知二面角的平面角的余弦值为................12分
解法二: (第1问未建系)
,,
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. ........7分
,⊥平面，
是平面的法向量......................................8分
,， ，,
设平面的法向量是,则，，
取得.平面的法量..................10分
............................................11分
.由图可知二面角的平面角的余弦值为..................12分
解法三: (几何法)
设N是CD的中点,过N作NF⊥于F,连接FB,如图.........................7分
, NB⊥CD.
侧面⊥底面ABCD, NB⊥侧面.....8分
NF⊥,BF⊥
∠BFN是二面角的平面角.........9分
依题意可得NB =, NF =,BF =........11分
∠BFN==二面角的平面角的余弦值为..........12分
20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为................................1分
设直线的方程为...............................................2分
令其中.由,得...............3分
联立可得,解得,,........4分
..............................................................5分
直线的方程为...........................................6分
解法二: 由题意得抛物线方程为......................................1分
设直线的方程为............................................2分
令其中.由,得...............3分
联立可得,解得,,........4分
..............................................................5分
直线的方程为...........................................6分
解法三: 由题意得抛物线方程为....................................1分
设直线的方程为............................................2分
令其中由,
得.......3分
联立可得,
解得,,..................................................4分
..........................................................5分
直线的方程为........................................6分
第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
（2）设出直线方程，得1分
（3）求出A，B两点横纵标关系（）或纵坐标关系（），得1分
（4）联立方程组，求出纵坐标（，）或横坐标（），得1分
（5）求出待定的字母，得1分
（6）下结论，写对直线方程，得1分。（若学生得两种结果，不得分）
(2)设,直线点在抛物线上,
直线的斜率存在,…………………………………7分
关于直线对称,所以.解得.......8分
故代入抛物线:,可得 .........9分
直线的方程为或....................................10分
设椭圆为,. 联立直线和椭圆,消去整理得
解得........................11分
则即.椭圆的长轴长的最小值为....................12分
第二问得分点分析：
（1）点P坐标算对，得2分，若点P坐标不对，有过程，过程无论对错，得1分
（2）利用对称关系，得到点P坐标与待定字母之间关系，得1分。、
（3）将点P坐标代入抛物线方程，求出待定字母，得1分。
（4）写出直线方程，得1分。
（5）由直线与椭圆有公共点，得椭圆方程中待定字母的范围，得1分
（6）求出长轴长的最小值，得1分
(另外:若设直线方程为,则代入抛物线:,得直线的方程为.也对应给分)
21. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
解：（1）,.
...................................................1分
①若时，，则在上是增函数........2分
②若 时，则在上是增函数............3分
在上是减函数........................4分
（说明：（1）分别求导正确没有作差也给1分求导分，
（2）忘记讨论且单调性正确，不扣分，这1分也给。）
（2）若在定义域内恒成立,考虑以下情形:
①当，同时恒成立时，
由恒成立..................................5分
得：.........................................................6分
∵由恒成立得：.∴............................7分
②当，同时恒成立时，不存在；..........................8分
③当时，∵为增函数，为减函数, .............9分
若它们有共同零点，则恒成立................................10分
由，,联立方程组解得：..............11分
综上：或...................................................12分
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
解: (1) （解法一）直线的倾斜角为,点A的极角............1分
代入圆E的极坐标方程得........................................2分
点A的极坐标..............................................3分
（解法二）由已知得直线的的直角方程为①，
圆E的直角坐标方程为②........................1分
（写对其中一个方程均给1分）
联立①②得A点直角坐标为（-2,2），.. ............ ...............2分
由得A点极坐标A............3分
（不写公式不扣分）
(2)（解法一，第一（1）问用极坐标做的）由(1)得线段的中点的极坐标是,
的直角坐标为..............................................4分
圆E的极坐标方程为,
圆E的直角坐标方程为................................5分
设直线的参数方程为(为参数)..........................6分
代入得.
,设的参数依次为,则..........................7分
......................................8分
......................................9分
的最大值为(此时直线的倾斜角为)..................10分
（解法二）由（1）知A(2，-2)，则M(1，-1)………………1分
…………………………3分
……………………………5分
………………6分
（解法三）由（1）A点直角坐标为（-2,2），M是OA中点，所以M点坐标为（-1,1）...4分
圆E的极坐标方程为,
圆E的直角坐标方程为..........................5分
当BC⊥x轴时，直线BC方程为.............6分(会分类就给1分)
或
不妨设
...........7分
当BC与x轴不垂直时，设直线BC方程为,
消y得
......................8分
设,
............................9分
（若会用两点间距离公式给1分）
=…………………8分
=………………………9分
= ……………………10分
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
解：（1）当时,
解得.所以.
当时,
解得
当时
解得所以...........................................4分
（分类标准对统一给1分，每个不等式去掉绝对值正确各给1分）
不等式的解集为；.......................6分
（2）证明：（解法一）……………………7分
=…………………8分
=>0………………………………9分
……………………10分
（解法二）....................................7分
则,........................8分
同理,..........................................9分
所以........................................10分
