点击下载：福建省福州市2017届高三5月适应性测试数学文
2017年福州市高三毕业班适应性
数学(文科)试卷
本试题卷分共5页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)若复数，则
（A） （B）2 （C） （D）5
(2)已知集合，则
（A） （B） （C） （D）
(3)某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队．甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为
（A） （B） （C） （D）
(4)已知为等差数列的前项和．若，则
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
(5)已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
（A） （B） （C） （D）2
(6)已知的顶点在椭圆（）上，椭圆的一个焦点为，另一个焦点在边上．若是边长为2的正三角形，则
（A） （B） （C） （D）
(7)一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为
（A） （B）2
（C） （D）
(8)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法至今仍是比较先进的算法．右图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的的值为2，则输出的的值为
（A）129 （B）144
（C）258 （D）289
(9)若函数（）在上为减函数，则的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
(10)已知函数，则的极大值与极小值之和为
（A）0 （B）1 （C） （D）2
(11)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为
（A）3
（B）
（C）
（D）
(12)已知函数若对于任意两个不等实数，都有成立，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第题为必考题，每个试题考生都必须做答。第题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
(13)已知向量，则 ．
(14)设满足约束条件则的最大值为 ．
(15)数列满足，则
．
(16)已知点为双曲线（）的右焦点，关于直线的对称点在上，则的渐近线方程为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分12分）
已知分别为的内角的对边，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
(18)（本小题满分12分）
如图，菱形与等边所在的平面相互垂直，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求三棱锥的高．
(19)（本小题满分12分）
为丰富人民群众业余生活，某市拟建设一座江滨公园，通过专家评审筛选出建设方案A和B向社会公开征集意见．有关部门用简单随机抽样方法调查了500名市民对这两种方案的看法，结果用条形图表示如下：
（Ⅰ）根据已知条件完成下面的列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关？
选择方案A 选择方案B 总计
老年人
非老年人
总计 500
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，能否提出一个更好的调查方法，使得调查结果更具代表性，说明理由．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
．
(20)（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，准线为．与交于两点，与轴的负半轴交于点．
（Ⅰ）若被所截得的弦长为，求；
（Ⅱ）判断直线与的交点个数，并说明理由．
(21)（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点（），证明：．
请考生在第、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(22)（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）写出的参数方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最大值．
(23)（本小题满分10分）选修：不等式选讲
设不等式的解集为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：当时，．
2017年福州市高三毕业班适应性
文科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）C （2）B （3）A （4）C （5）C （6）A
（7）C （8）D （9）C （10）D （11）A （12）B
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13） （14）1 （15）85 （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) 本小题考查正弦定理、余弦定理、三角求值等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．
【解析】（Ⅰ）因为，所以， 2分
因为，所以， 4分
因为，所以． 6分
（Ⅱ）由余弦定理，，得， 8分
因为，所以，解得，或． 9分
又因为，所以， 10分
所以的面积． 12分
(18) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．
【解析】（Ⅰ）取中点，连结， 1分
因为为等边三角形，所以． 2分
因为四边形为菱形，所以，
又因为，所以为等边三角形，
所以． 3分
因为，所以平面， 5分
因为平面，所以． 6分
（Ⅱ）因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以为三棱锥的高． 8分
所以，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以． 10分
设三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，解得． 12分
(19) 本小题主要考查独立性检验、抽样方法等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想思想等．满分12分．
【解析】（Ⅰ）由题意得列联表如下：
选择方案A 选择方案B 总计
老年人 20 180 200
非老年人 60 240 300
总计 80 420 500
2分
假设是否选择方案A和年龄段无关，
则的观测值， 5分
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为是否选择方案A和年龄段有关．
7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知，市民选择哪种方案与年龄段有关，并且从样本数据能看出老年人与非老年人选择方案A的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该县中各年龄段市民的比例，再采用分层抽样的方法进行抽样调查，使得调查结果更具代表性． 12分
(20) 本小题主要考查直线与圆的位置关系、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．
【解析】不妨设在轴上方，．
（Ⅰ）依题意，点坐标为，准线的方程为，
所以到的距离． 2分
因为被所截得的弦长为，
所以的半径，则． 4分
由抛物线定义得，所以，从而，
所以． 6分
（Ⅱ）设（），则， 7分
所以，，故，从而． 8分
所以直线的方程为，即． 9分
由得， 10分
所以，
所以直线与有且只有一个交点． 12分
(21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解法一：（Ⅰ）， 1分
①当时，，在上为增函数． 2分
②当时，令，得．
若，则，在上为增函数；
若，则，在上为减函数． 4分
（Ⅱ）①当时，由（Ⅰ）知，为增函数，所以至多只有一个零点．
②当时，，由（Ⅰ）知，，
所以在上恒成立，至多只有一个零点． 5分
③当时，，则，
令，则，
由（Ⅰ）知，当时，在为增函数，在为减函数，所以，即，所以，为增函数．
所以当时，，即，所以，
所以， 6分
因为在上为增函数；在上为减函数，
所以有且只有两个零点． 7分
综上所述，．
又因为，所以 8分
依题意，，所以．
令，则，，
当时，，为减函数． 9分
要证，即证，
只需证，只需证． 10分
令，即，
所以， 11分
当时，，，为增函数，
所以，故，故． 12分
解法二：（Ⅰ）同解法一． 4分
（Ⅱ）因为有两个零点，所以方程，即有两解． 5分
令，则， 6分
当时，，为增函数；当时，，为减函数．
所以． 7分
又因为当时，；当时，，
所以，且． 8分
要证，即证，只需证，
因为，
所以只需证，即证，
只需证，． 10分
令，则
由，得， 11分
当时，，故，为增函数，
所以，故． 12分
(22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分．
【解析】（Ⅰ）的参数方程为（为参数）， 3分
的直角坐标方程为，即． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的图象是以为圆心，为半径的圆． 6分
设，则
． 8分
当时，取得最大值． 9分
又因为，当且仅当三点共线，且在线段上时，等号成立．
所以． 10分
(23) 本小题主要考查绝对值不等式、不等式证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想等．满分10分．
【解析】（Ⅰ）原不等式等价于
或
或 3分
解得，或，或， 4分
所以原不等式的解集为，即． 5分
（Ⅱ）
7分
， 8分
因为，即，所以， 9分
所以，故． 10分
