点击下载：福建省福州市2017届高三5月适应性测试数学理
2017年福州市高三毕业班适应性
数学(理科)试卷
本试题卷分共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合，则的子集个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
(2)已知是虚数单位，且（），则的虚部等于
（A） （B） （C） （D）
(3)已知命题，则为
（A） （B）
（C） （D）
(4)某市组织了一次高三调研考试，考后统计的数学成绩，则下列说法中
不正确的是
（A）该市这次考试的数学平均成绩为80分
（B）分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
（C）分数在110以上的人数与分数在50分以下的人数相同
（D）该市这次考试的数学成绩的标准差为10
(5)已知圆锥曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此圆锥曲线的离心率为
（A）2 （B） （C） （D）不能确定
(6)某几何体的正（主）视图与侧（左）视图均为边长为1的正方形，则下列图形一定不是该几何体俯视图的是
(7)执行右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值是
（A） （B）
（C） （D）
(8)若将函数的图象向右平移m个单位后恰好与函数的图象重合,则m的值可以为
（A） （B）
（C） （D）
(9)我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量约为
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸，1寸约等于）
（A） （B） （C） （D）
(10)已知分别是的内角所对的边，点为的重心．若，则
（A） （B） （C） （D）
(11)过抛物线的焦点作直线与交于两点，它们到直线的距离之和等于7，则满足条件的
（A）恰有一条 （B）恰有两条 （C）有无数多条 （D）不存在
(12)已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第题为必考题，每个试题考生都必须做答。第题为选考题，考生根据要求做答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
(13)随着智能手机的普及，络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示．若这组数据的中位数、平均数分别为，则的大小关系是 ．
(14)若，则= ．
(15)如图，在直角坐标系中，将直线与直线及轴所围成的图形（阴影部分）绕轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积．据此类比：将曲线（）与直线及轴所围成的图形绕轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积= ．
(16)若函数有四个零点,则实数的取值范围是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
(17)（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若，判断的前项和与的大小关系，并说明理由．
(18)（本小题满分12分）
为了开一家汽车租赁公司，小王调查了市面上两种车型的出租情况，他随机抽取了某租赁公司的这两种车型各100辆，分别统计了每辆车在某一周内的出租天数，得到下表的统计数据：
Ａ型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 5 10 30 35 15 3 2
Ｂ型车
出租天数 1 2 3 4 5 6 7
车辆数 14 20 20 16 15 10 5
以这200辆车的出租频率代替每辆车的出租概率，完成下列问题：
（Ⅰ）根据上述统计数据，估计该公司一辆Ａ型车，一辆Ｂ型车一周内合计出租天数恰好为４天的概率；
（Ⅱ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，在不考虑其他因素的情况下，运用所学的统计学知识，你会建议小王选择购买哪种车型的车，请说明选择的依据．
(19)（本小题满分12分）
如图，梯形中，，矩形所在的平面与平面垂直，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为线段上一点，平面与平面所成的锐二面角为，求的最小值．
(20)（本小题满分12分）
已知为直角坐标平面内轴正方向上的单位向量，（），且．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，，是否存在直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
(21)（本小题满分12分）
已知函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）求证：．（）
请考生在第、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。
(22)（本小题满分10分）选修：几何证明选讲
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与交于两点，点的极坐标为，求的值．
(23)（本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ），使得，求实数的取值范围．
2017年福州市高三毕业班适应性
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）B （2）D （3）D （4）B （5）A （6）D
（7）D （8）B （9）C （10）D （11）D （12）A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．
（13） （14） （15） （16）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(17) 本小题考查等差数列的通项公式、与关系、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）∵
∴ 3分
数列是首项为5,公差为1的等差数列, 4分
（Ⅱ） 5分
当时,时也符合,
故 6分
8分
. 12分
(18) 本小题主要考查频数分布表、相互独立事件的概率、期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）设事件表示一辆A型车在一周内出租的天数恰好为天;
事件表示一辆B型车在一周内出租的天数恰好为天;
其中
则估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为:
估计该公司一辆A型车,一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率是．
6分
（Ⅱ）设X为A型车出租的天数,则X的分布列为
X 1 2 3 4 5 6 7
P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02
设Y为B型车出租的天数,则Y的分布列为
Y 1 2 3 4 5 6 7
P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05
E(X)=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62,
E(Y)=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48,
一辆A型车一周的平均出租天数为3.62, 一辆B型车一周的平均出租天数为3.48,所以选择购买A型车. 12分
(19) 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）取中点,连接,因为AB//CD,
所以四边形为平行四边形, 2分
依题意,为正三角形, 3分
因为平面BFED⊥平面ABCD, 平面BFED平面ABCD,
平面,所以平面BFED. 5分
又平面ADE, ∴平面平面; 6分
（Ⅱ）因为四边形BFED为矩形,所以ED⊥DB,
如图建立空间直角坐标系D-xyz.
设AD=1,则 7分
,设是平面PAB的法向量,则
取 9分
又平面的一个法向量为 10分
. 12分
(20) 本小题主要考查坐标法、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）依题意,点到点的距离之和为6>. 3分
所以点的轨迹是以为焦点,长轴长为6的椭圆,其方程为：
. 5分
（Ⅱ）设直线的方程为代入得
, 6分
设.
则 7分
∴四边形为平行四边形,若四边形为矩形,则 8分
即
11分
所以满足条件的直线不存在. 12分
(21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．
解：（Ⅰ）函数的定义域为 1分
2分
①时, 的递增区间为无递减区间; 3分
②时,令得的递增区间为递减区间为. 4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知，时, 在上递增,,不合题意, 6分
故只考虑的情况,由(Ⅰ)知
8分
（Ⅲ）由(Ⅱ)得当恒成立.
则即
10分
即 12分
(22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分．
解：（Ⅰ）曲线的普通方程为 2分
曲线的直角坐标方程为:. 5分
（Ⅱ）的参数方程的标准形式为为参数)代入得
6分
设是对应的参数,则 7分
10分
(23) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分10分．
解：（Ⅰ） 2分
等价于 3分
综上,原不等式的解集为 5分
（Ⅱ） 7分
由(Ⅰ)知
所以， 9分
实数的取值范围是 10分
