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2017年普通高等学校招生全国统一考试
4月调研测试卷 理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C．2 D． 4
4．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（ ）
A．10日 B． 20日 C． 30日 D．40日
5．设直线与圆相交于两点，为坐标原点，若为等边三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
6．方程表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的数不可能是（ ）
A．15 B．18 C． 19 D．20
8．如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中，，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
10．设为双曲线：的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，设关于的方程有个不同的实数解，则的所有可能的值为（ ）
A． 3 B． 1或3 C． 4或6 D．3或4或6
12．已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．在的展开式中的系数为320，则实数 ．
14．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为 ．
15．设函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围为 ．
16．已知数列的前项和为，若，，，则 ．（用数字作答）
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，求．
18． 如图，矩形中，，，为的中点，将沿折到的位置，．
（1）求证：平面平面；
（2）若为的中点，求二面角的余弦值．
19． “微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
附：，
0．10 0．05 0．025 0．010
2．706 3．841 5．024 6．635
（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望．
20． 已知分别为椭圆：的左、右顶点，为椭圆上异于两点的任意一点，直线的斜率分别记为．
（1）求；
（2）过坐标原点作与直线平行的两条射线分别交椭圆于点，问：的面积是否为定值？请说明理由．
21． 已知曲线在点处的切线与直线平行，．
（1）求的值；
（2）求证：．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围．
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）若的最小值为2，求的值；
（2）若对，，使得不等式成立，求实数的取值范围．
试卷答案
2017年普通高等学校招生全国统一考试
4月调研测试卷 理科数学
一、选择题
1～6 DCCCCD 7～12 DABCAD
第（11）题解析：，
在和上单增，上单减
又当时，时，
故的图象大致为：
令，则方程必有两根且，
当时恰有，此时有1个根，有2个根；
当时必有，此时无根，有3个根；
当时必有，此时有2个根，有1个根；
综上，对任意，方程均有个根.
第（12）题解析：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，
由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，
且切点分别在线段上，设线段上的切点为，
面，圆柱上底面的圆心为，
半径即为记为，则，，
由知，则圆柱的高为，
.
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
第（15）题解析：函数的图象如图所示，结合图象易得，当时，.
第（16）题解析：，
则，
，则.
三、解答题
（17）
解：（Ⅰ），
；
（Ⅱ），由（Ⅰ）知，，
或，或.
（18）
解：（Ⅰ）由题知，在矩形中，，，又，
面，面面；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面内过作直线，则平面，
故以为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，则
令，得平面的一个法向量，显然平面的一个法向量为，
故，即二面角的余弦值为.
（19）
解：（Ⅰ）
，故没有95%以上的把握认为二者有关；
（Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，，；当或
时，，；当或时，，
，即的分布列为：
.
（20）解：（Ⅰ）设，则；
（Ⅱ）由题知，直线，直线，设，
则，由，
同理可得，故有，
又，故，.
（21）解：（Ⅰ），由题；
（Ⅱ），，，
故在和上递减，在上递增，
①当时，，而，故在上递增，
，即；
②当时，，令，则故
在上递增，上递减，，即；
综上，对任意，均有.
（22）解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）因为点在椭圆的内部，故与恒有两个交点，即，将直线的参数方程与椭圆的直角坐标方程联立，得，整理得
，则.
（23）解：（Ⅰ），当且仅当取介于和之间的数时，等号成立，故的最小值为，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最小值为，故，使成立，即 ，
，.
