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2017江西五市八校第二次联考数学理试题及答案

来源:3773考试网 2017-4-18 8:53:28

点击下载:江西省五市八校2017届高三下学期第二次联考数学(理)

江西省五市八校2017届高三第二次联考
数学(理科)试卷
命题人:九江三中      乐平中学  

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷满分150分,考试时间120分钟.
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上.
2.第I卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域书写作答,在试题卷上作答,答案无效.
3.考试结束,监考员将答题卡收回.
第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.复数(    )
   A.            B.           C.           D.
2.已知集合,,则(     )
A.             B.          C.               D.
3.已知等比数列的各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是(     )
A.        B.     C.     D.
4.如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是
某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图,
且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是(    )

 

     

 

5.在区间内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间内的概率为(    )
   A.            B.           C.            D.
6.如右图所示的程序框图输出的结果是(     )
 A.6 B.
 C.5 D.

7.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为,三角形的面积可由公式求得,其中为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足,则此三角形面积的最大值为(    )
A.          B.           C.             D.
8. 设表示不超过的最大整数,如,已知函数,若方程有且仅有个实根,则实数的取值范围是(     )
A.          B.          C.        D.
9.某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若每班只安排一人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是(    )
A.24              B.32             C.48                D. 84
10.倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与抛物线交于点、,交抛物线的准线于点(在、之间),若,则(    )
   A.1                B.2               C.3                D.4
11.设是正方体的对角面(含边界)内的点,若点到平面、平面、平面的距离相等,则符合条件的点(    )
   A.仅有一个         B.有有限多个      C.有无限多个       D.不存在

12.若关于不等式恒成立,则实数的取值范围是(    )
  A.         B.       C.        D. [:.]
第Ⅱ卷
注意事项:须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上作答,答案无效.
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,且,则向量与向量的夹角是           
14. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨,生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是           万元
15.已知数列满足,若不等式 恒成立,则实数的取值范围是         
16.函数的图像向左平移个单位长度后对应的函数是奇函数,函数若关于的方程在内有两个不同的解,则的值为         
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)在中,所对边长分别为,
已知,且.
(1)求的大小;
(2)若,,求的面积.
18.(本小题满分12分)如图,在四面体中,平面平面,, 
,,.
(1)求证:;
(2)设是的中点,若直线与平面的夹角为,
求四面体外接球的表面积.

 


19. (本小题满分12分)春节来临,有农民工兄弟、、、四人各自通过互联网订购回家过年的火车票,若订票成功即可获得火车票,即他们获得火车票与否互不影响.若、、、获得火车票的概率分别是,其中,又成等比数列,且、两人恰好有一人获得火车票的概率是.
(1)求的值;
(2)若、是一家人且两人都获得火车票才一起回家,否则两人都不回家.设表示、、、能够回家过年的人数,求的分布列和期望.[:.]
20. (本小题满分12分)
过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, .
(1) 证明: 为定值;
(2) 记△的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试
    判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.
21. (本小题满分12分)已知函数
 (1)讨论函数的单凋性;
 (2)若存在使得对任意的不等式(其中e为自然对数的底数)都成立,求实数的取值范围.
  请考生在第22~23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
(1) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1) 若,求实数的取值范围;
(2) 若R ,  求证:.

 

理科数学参考答案
一、选择题 1-5 ABADD 6-10 CBCAD 11-12 AB
二、填空题13、     14、27       15、    16、
三、解答
17、解:(1),  
………2分  由正弦定理得………4分
   ………5分    ………6分
(2)由(1)及余弦定理得,

即………8分
又,解得………9分 
   ………11分
的面积………12分
18、解:(1)由平面平面,,得平面,
………2分
又由,,,得,所以………4分
故平面,所以………6分
(2)取的中点,连接,则,
因为平面  平面……………8分
连接,则,
……………9分
又,所以四面体的外接球的半径………11分
故四面体的外接球的表面积=………12分(向量解法酌情给分)
19、解:(1)、两人恰好有一人获得火车票的概率是
………1分
联立方程………3分
,解得………5分
(2)
………6分
………7分
………8分
………9分
………10分
的分布列为
 0 1 2 3 4
     
………11分
………12分
20、(1) 法1:由,得,所以.  所以直线的斜率为.
      因为点和在抛物线上, 所以,.
      所以直线的方程为.  …… ……1分
      因为点在直线上,
      所以,即. ………………………………2分
      同理, .               ………… ………3分
      所以是方程的两个根.
      所以.                        … …4分
      又,    ………… …5分
      所以为定值.             …6分
法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, ………………1分
由消去得,
由, 化简得.  ……………………………2分
所以.         3分
由,得,所以.
    所以直线的斜率为,直线的斜率为.
    所以, 即.           … …………4分
    又,      ……………… …………5分
    所以为定值.              ………… ……6分
(2) 直线的垂直平分线方程为,   ……………7分
     由于,,
     所以直线的垂直平分线方程为.  ①  ……………8分
     同理直线的垂直平分线方程为. ②  ……………9分
     由①②解得, ,
     所以点.         分
     抛物线的焦点为 则
     由于 11分
     所以
     所以以为直径的圆恒过点  ……… …12分
另法: 以为直径的圆的方程为 ……11分
把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.
所以以为直径的圆恒过点 ……… …12分
21、解:(I),记
(i)当时,因为,所以,函数在上单调递增;
(ii)当时,因为,
所以,函数在上单调递增;
(iii)当时,由,解得,
所以函数在区间上单调递减,
在区间上单调递增.------------------(6分)
(II)由(I)知当时,函数在区间上单调递增,
所以当时,函数的最大值是,对任意的,
都存在,使得不等式成立,
等价于对任意的,不等式都成立,
即对任意的,不等式都成立,
记,由,

由得或,因为,所以,
①当时,,且时,,
时,,所以,
所以时,恒成立;
②当时,,因为,所以,
此时单调递增,且,
所以时,成立;
③当时,,,
所以存在使得,因此不恒成立.
综上,的取值范围是. ------------------(12分)
另解(II)由(Ⅰ)知,当时,函数在区间上单调递增,
所以时,函数的最大值是,
对任意的,都存在,
使得不等式成立,
等价于对任意的,不等式都成立,
即对任意的,不等式都成立,
记,
由,且
∴对任意的,不等式都成立的必要条件为
又,
由得或
因为,所以,
①当时,,且时,,
 时,,所以,
所以时,恒成立;
②当时,,因为,所以,
此时单调递增,且,
所以时,成立.

 



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