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湖南省2017届高三十校联考第二次考试
数学（文史类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知（，），其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3.在区间上随机取一个数，若满足的概率为，则实数为（ ）
A． B． C． D．
4.一个袋中有大小相同，编号分别为，，，，的五个球，从中有放回地每次取一个球，共取3次，取得三个球的编号之和不小于13的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.在中，角，，所对应的边分别为，，，，若，则（ ）
A． B． C．或 D．或
6.若（），则在，，…，中，值为零的个数是（ ）
A．143 B．144 C．287 D．288
7.如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
8.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（ ）
（参考数据：，，）
A．2.598,3,3.1048 B．2.598,3,3.1056
C．2.578,3,3.1069 D．2.588,3,3.1108
9.定义运算：，将函数（）的图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10.函数的图象大致是（ ）
11.设，实数，满足若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.设函数若关于的方程有四个不同的解，，，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，满足不等式则的最大值为 ．
14.已知，，，则在方向上的投影为 ．
15.已知，，三点都在体积为的球的表面上，若，，则球心到平面的距离为 ．
16.已知是上可导的增函数，是上可导的奇函数，对，都有成立，等差数列的前项和为，同时满足下列两条件：，，则的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设是公比大于1的等比数列，为其前项和，已知，，，构成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
18.在某次测试后，一位老师从本班48同学中随机抽取6位同学，他们的语文、历史成绩如表：
学生编号 1 2 3 4 5 6
语文成绩 60 70 74 90 94 110
历史成绩 58 63 75 79 81 88
（Ⅰ）若规定语文成绩不低于90分为优秀，历史成绩不低于80分为优秀，以频率作概率，分别估计该班语文、历史成绩优秀的人数；
（Ⅱ）用表中数据画出散点图易发现历史成绩与语文成绩具有较强的线性相关关系，求与的线性回归方程（系数精确到0.1）．
参考公式：回归直线方程是，其中，
19.等腰的底边，高，点是线段上异于点，的动点，点在边上，且．现沿将折起到的位置，使．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）记，表示四棱锥的体积，求的最值.
20.已知圆：关于直线：对称的圆为．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线与圆交于，两点，是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形中？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.
21.已知函数，其中，且，若，在处切线的斜率为.
（Ⅰ）求函数的解析式及其单调区间；
（Ⅱ）若实数，满足，且对于任意恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆和的参数方程分别是（为参数）和（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求圆和的极坐标方程；
（Ⅱ）射线：与圆交于点、，与圆交于点、，求的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若任意，使得成立，求实数的取值范围．
湖南省2017届高三十校联考第二次考试数学（文史类）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）设数列的公比为（），由已知，得
可得解得故数列的通项公式为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
所以
．
18.解：（Ⅰ）由表中数据，语文成绩、历史成绩为优秀的频率分别为，，
故该班语文、历史成绩优秀的人数分别为24、16．
（Ⅱ）由表中数据可得，，，
，，
所以，，
所以与的线性回归方程为．
19.（Ⅰ）证明：∵，∴，故，而，
所以平面．
（Ⅱ）解：∵，，∴平面，即为四棱锥的高.
由高线及得，∴，由题意知，∴，
∴．
而，∴（），
所以当时，．
20.解：（Ⅰ）圆的化为标准为，设圆的圆心关于直线：的对称点为，则，且的中点在直线：上.
所以有解得
所以圆的方程为．
（Ⅱ）由，所以四边形为矩形，所以，
必须使，即.
①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为，与圆：交于两点，．
因为，所以，所以当直线的斜率不存在时，直线：满足条件.
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，
设，，由得，
由于点在圆内部，所以恒成立，
，，
，
要使，必须使，,
也就是：，整理得，解得，
所以直线方程为，
存在直线和，它们与圆交，两点，且四边形对角线相等．
21.解：（Ⅰ）由于且，则．
当时，，即，
故，即，，因此．
令，则，即在上单调递增，
由于，则
故当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
因为的单调递减区间为，的单调递增区间为.
（Ⅱ）当时，取，则，
由于在上单调递增，则，不合题意，故舍去；
当时，由抽屉原理可知，则，
若，由于在上单调递减，则成立；
若，，则，
故，
由于，则，（当且仅当时取“”），
由于，故上式无法取“”，因此恒成立，.
22.解：（Ⅰ）圆和的普通方程分别是和，
∴圆和的极坐标方程分别为，.
（Ⅱ）依题意得点、的极坐标分别为，，
∴，，从而，
当且仅当，即时，上式取“”，取最大值4．
23.解：（Ⅰ）当时，由，得，
两边平方整理得，解得或，
∴原不等式的解集为．
（Ⅱ）由，得，
令，即
故，
故可得到所求实数的取值范围为.
