点击下载：广东省肇庆市2017届高三毕业班第三次统测数学（文）试题
肇庆市中小学教学质量评估
2017届高中毕业班第三次统一检测题
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合 , ，则
（A） （B） （C） （D）
（2）复数
（A） （B） （C） （D）
（3）从 中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
（A） （B） （C） （D）
（4）设首项为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上的点， ， ，则 的离心率为
（A） （B） （C） （D）
（6）某几何体的三视图如图所示（网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为
（A） 2 （B） 3
（C） 4 （D）6
（7）设函数 ，则
（A） 在 单调递增，其图象关于直线 对称
（B） 在 单调递增，其图象关于直线 对称
（C） 在 单调递减，其图象关于直线 对称
（D） 在 单调递减，其图象关于直线 对称
（8）如图所示是计算函数 的值的程序框图，
在①②③处应分别填入的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知定点 ， ， 是圆 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的中垂线与直线 相交于点 ，则点 的轨迹是
（A）椭圆 （B）双曲线 （C）抛物线 （D）圆
（10）当实数 满足不等式组 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
（11）在棱长为1的正方体 中， ， 是线段 （含端点）上的一动点， 则
① ； ② ；
③三棱锥 的体积为定值；
④ 与 所成的最大角为90.
上述命题中正确的个数是
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（12）定义在 上的函数 满足 ， .若关于 的方程 有5个不同实根，则正实数 的取值范围是
（A） （B） : （C） （D）
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
（13）平面向量 ， ， ，且 与 的夹角等于 与 的夹角，则 ＝ ▲ .
（14）已知直线 是曲线 的一条切线，则 的值为 ▲ .
（15）设数列 满足 ，点 对任意的 ，都有向量 ，则数列 的前 项和 = ▲ .
（16）已知函数 ，若 存在2个零点 ，且 都大于 ，则 的取值范围是 ▲ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知 中，角 所对的边依次为 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 ；
（Ⅱ）若 成等比数列，求 面积的最大值.
（18）（本小题满分12分）
某市房产契税标准如下：
购房总价（万）
税率
从该市某高档住宅小区，随机调查了一百户居民，获得了他们的购房总额数据，整理得到了如下的频率分布直方图：
（Ⅰ）假设该小区已经出售了2000套住房，估计该小区有多少套房子的总价在300万以上，说明理由.
（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，估计该小区购房者缴纳契税的平均值.
（19）（本小题满分12分）
在四棱锥 中， ， ， 是 的中点，面 面 .
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）若 ，求点 到面 的距离.
（20）（本小题满分12分）
已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 内切，与圆 外切. 为坐标原点.
（Ⅰ）求圆心 的轨迹 的方程.
（Ⅱ）直线 与曲线 交于 两点，求 面积的最大值，以及取得最大值时直线 的方程.
（21）（本小题满分12分）
已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调区间；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求 的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （t为参数 ， 在以原点 为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线 与曲线 交于 两点，求 的最大值和最小值.
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数 ， .
（Ⅰ）当 ，解不等式 ；
（Ⅱ）若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
2017届高中毕业班第三次统一检测题
文科数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8ZxxkCom 9 10 11 12
答案 C C B D D A D B B D D D
二、填空题
13． 14． 15． 16．
三、解答题
（17）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由 ，得 （1分）
由正弦定理得 （2分）
得 （3分）
又因为 ，所以 （5分）
（Ⅱ）若 成等比数列，则有 （6分）
，当且仅当 时等号成立， （8分）
单调递减，且 ，所以 的最大值为 . （10分）
，当 时， 面积取得最大值 . （12分）
（18）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，购房总价在300万以上的频率为
， （3分）
，估计该小区有300套房子的总价在300万以上. （4分）
（Ⅱ）由频率分布直方图，以及契税标准可知：
当购房总价是1百万时，契税为1万，频率为0.1；
当购房总价是1.5百万时，契税为1.5万，频率为0.15；
当购房总价是2百万时，契税为2万，频率为0.2；
当购房总价是2.5百万时，契税为3.75万，频率为0.25；
当购房总价是3百万时，契税为4.5万，频率为0.15；
当购房总价是3.5百万时，契税为5.25万，频率为0.05；
当购房总价是4百万时，契税为6万，频率为0.05；
当购房总价是4.5百万时，契税为13.5万，频率为0.05； （8分）
依题意可知该小区购房者缴纳契税的平均值为
该小区购房者缴纳契税的平均值为3.575万元. （12分）
（19）（本小题满分12分）
解法一：
（Ⅰ）证明：取 的中点 ，连接 . （1分）
因为 是 的中位线，所以 . （2分）
又 ，所以 ，所以四边形 是平行四边形. （3分）
所以 ，又 所以 . （5分）
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 ，则 ，所以四边形 是平行四边形.
所以 ，所以 在以 为直径的圆上. （6分）
所以 ，可得 . （7分）
因为面 面 ，且面 面 = ，
所以 面 ， （8分）
即 ，可得 . （9分）
在面 内做 于 ，又面 面 ，且面 面 = ，所以 面 . （10分）
由余弦定理可得 ，所以 .（11分）
，即 到面 的距离为 . （12分）
解法二：
（Ⅰ）证明：延长 交于点 ，连接 . （1分）
因为 ，所以 是 的中位线. （2分）
，所以 是 的中位线，
所以 . （3分）
又 所以 . （5分）
（Ⅱ）易得 是等边三角形，所以 . （6分）
因为面 面 ，且面 面 = ，
所以 面 ，所以 . （7分）
所以 ，三棱锥 是正四面体. （8分）
所以 在底面 的投影 是底面的中心，可得 . （10分）
， 到面 的距离为 . （12分）
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设动圆P的半径为 ，
依题意有 ， . （2分）
所以轨迹 是以 为焦点的椭圆，且 ，所以 ， （3分）
当 点坐标为椭圆右顶点时， 不符合题意，舍去. （4分）
所以轨迹 的方程 . （5分）
（Ⅱ）设 ，联立 得 （6分）
， ，得 （7分）
设原点到直线 的距离为 ， （8分）
，
（9分）
令 ，则 ，
，当且仅当 时，等号成立， （11分）
即当 时， 面积取得最大值 ，此时直线方程为 .（12分）
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）定义域是 ， . （1分）
令 .
当 ，即 时， 恒成立，即 ，所以 的单调增区间为 ； （2分）
当 时，即 或 时，方程 有两个不等的实根，
. （3分）
若 ，由 得， ，所以 在 成立，即 ，所以 的单调增区间为 ； （4分）
若 ，由 得， ，
由 得 的范围是 ，由 得 的范围 ，
即 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 .（5分）
综上所述，当 时， 的单调递增区间为
，
的单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无递减区间. （6分）
（Ⅱ）由 ，得 ，
即 ，即 在 上恒成立. （7分）
由（Ⅰ）知当 时， 的单调递增区间为 ，又 ， （8分）
所以当 时， 恒成立. （9分）
由（Ⅰ）知当 时， 在 单调递增，在 单调递减，且 ，得 ， ，不符合题意. （11分）
综上所述， 的取值范围是 . （12分）
（22）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ） ，（2分）
，即 . （4分）
即 ①，故曲线 是圆. （5分）
（Ⅱ）将曲线 的参数方程代入①，化简得 . （7分）
， （8分）
当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 . （10分）
（23）（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由 ，得 ， （1分）
两边平方，并整理得 ， （2分）
所以不等式的解集为 . （4分）
（Ⅱ）法一：
由 ，得 ，即 . （5分）
令 ，依题意可得 . （6分）
， （8分）
当且仅当 时，上述不等式的等号同时成立，所以 .（9分）
所以 的取值范围是 . （10分）
法二：
由 ，得 ，即 . （5分）
令 ，依题意可得 . （6分）
， （7分）
易得 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值 . （9分）
故 的取值范围是 . （10分）
