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2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数与的定义域分别为、，则（ ）
A． B． C．D．
2.若，则复数对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.已知向量，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.现有3道理科题和2道文科题共5道题，若不放回地一次抽取2道题，则在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为（ ）
A． B． C． D．
5.已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
6.已知，其中为自然对数的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
7.如图是计算的值的程序框图，则图中①②处应填写的语句分别是（ ）
A．, B．,
C．, D．,
8.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
9.实数，满足时，目标函数的最大值等于5，则实数的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形为矩形，若沿将其侧面剪开，其侧面展开图形状大致为（ ）
11.如图，两个椭圆的方程分别为和（，），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线、，若、的斜率之积恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12.若函数在上存在极小值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若的展开式中二项式系数和为64，则展开式的常数项为 ．（用数字作答）
14.已知函数（，）的图象如图所示，则的值为 ．
15.双曲线（，）上一点关于一条渐进线的对称点恰为右焦点，则该双曲线的标准方程为 ．
16.在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长为，，，其面积，这里．已知在中，，，其面积取最大值时 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求证：对任意的，.
18.在如图所示的多面体中，为直角梯形，，，四边形为等腰梯形，，已知，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
19.天气预报是气象专家根据预测的气象资料和专家们的实际经验，经过分析推断得到的，在现实的生产生活中有着重要的意义.某快餐企业的营销部门经过对数据分析发现，企业经营情况与降雨天数和降雨量的大小有关.
（Ⅰ）天气预报说，在今后的四天中，每一天降雨的概率均为，求四天中至少有两天降雨的概率；
（Ⅱ）经过数据分析，一天内降雨量的大小（单位：毫米）与其出售的快餐份数成线性相关关系，该营销部门统计了降雨量与出售的快餐份数的数据如下：
降雨量（毫米） 1 2 3 4 5
快餐数（份） 50 85 115 140 160
试建立关于的回归方程，为尽量满足顾客要求又不造成过多浪费，预测降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数．（结果四舍五入保留整数）
附注：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
20.已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．
21.设函数，其中为自然对数的底数，其图象与轴交于，两点，且．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）证明：（为函数的导函数）．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（），为上一点，以为边作等边三角形，且、、三点按逆时针方向排列.
（Ⅰ）当点在上运动时，求点运动轨迹的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线：，经过伸缩变换得到曲线，试判断点的轨迹与曲线是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求函数的图象与直线围成的封闭图形的面积；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正数、满足，求的最小值.
2017届石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数学（理科）答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（Ⅰ）当时，
①-②得，
所以，
当时，，
所以，．
（Ⅱ）因为，.
因此.
所以，对任意，．
18.（Ⅰ）证明：取中点，连接，，，可知，
∴，
又， ∴平面，
∴， 又，
，∴平面，平面，
∴平面平面．
（Ⅱ）如图，作，则平面，故以为原点，分别以 的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间平面直角坐标系，依题意可得 ，，，，所以 ， ，．
设 为平面EAC的法向量，则
即 不妨设，
可得，
所以，
直线CF与平面EAC所成角的正弦值为．
19.解：（Ⅰ）四天均不降雨的概率，
四天中恰有一天降雨的概率，
所以四天中至少有两天降雨的概率.
（Ⅱ）由题意可知，，
所以，关于的回归方程为：．
将降雨量代入回归方程得：.
所以预测当降雨量为6毫米时需要准备的快餐份数为193份．
20.解：（Ⅰ）设，由题意可知，，的中点，，
因为，，．
在⊙C中，因为，∴，
所以，即（），
所以点的轨迹的方程为：（）．
（Ⅱ） 设直线MN的方程为，，，直线BN的方程为，
，可得，
，则点A，所以直线AM的方程为，
，，可得，
直线BN的方程为，
联立可得，
所以点，，，
∴与直线MN相切．
21.解：（Ⅰ）．
若，则，则函数是单调增函数，这与题设矛盾．所以，令，则．
当时，，是单调减函数；时，，是单调增函数；
于是当时，取得极小值．
因为函数的图象与轴交于两点，(x1＜x2)，
所以，即．
此时，存在；（或寻找f（0））
存在，
又由在及上的单调性及曲线在R上不间断，可知为所求取值范围．
（Ⅱ）因为 两式相减得．
记，则，
设，则，所以是单调减函数，
则有，而，所以．
又是单调增函数，且，
所以．
22.解：（Ⅰ）设点的坐标为，
则由题意可得点的坐标为，
再由点的横坐标等于，，
可得，
可得，
故当点在上运动时点的直角坐标方程为．
（Ⅱ)曲线：，
，即，代入，即，
联立点的轨迹方程，消去得，
有交点，坐标分别为．
23.解：（Ⅰ）函数
它的图象如图所示：
函数的图象与直线的交点为、，
故函数的图象和直线围成的封闭图形的面积．
（Ⅱ）
，
当且仅当，
可得时等号成立，
的最小值是
