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长春市2017届高三质量监测（四）数学（理）
长春市普通高中2017届高三质量监测（四）
数学（理科）
一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.为虚数单位，则
A. B. C. D.
2.已知集合，则
A. B. C. D.
3.已知函数，则函数的值域为
A. B. C. D.R
4. 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为
A. 图1 B. 图2 C. 图3 D. 图3
5.公元263年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率，刘徽称这个方法为“割圆术”，并且把“割圆术”的特点概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.右图是根据刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图.运行该程序，则输出的n的值为：（参考数据：）
A. 48 B. 36 C. 30 D. 24
6.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法中正确的是
A. 是奇函数，最小值为-2 B. 是偶函数，最小值为-2
C. 是奇函数，最小值为 D. 是偶函数，最小值为
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
8.二项式的展开式中，项的系数为
A. B. C. 15 D. -15
9.据统计，某城市的火车站春运期间日接送旅客人数（单位：万）服从正态分布，则日接送人数在6万到6.8万之间的概率为（）
A. B. C. D.
10.球面上有A,B,C三点，球心O到平面ABC的距离是球半径的，且，则球O的表面积是
A. B. C. D.
11.已知是双曲线的两个焦点，P是双曲线C上的一点，若，且的最小内角的大小为，则双曲线C的渐近线方程为
A. B. C. D.
12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知实数满足约束条件，则的最小值为 .
14. 若非零向量满足，则向量夹角的余弦值为 .
15. 已知锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，，AD是角A的平分线，D在BC上，则 .
16. 有甲、乙两人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出了如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日.看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后说，“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说“哦，现在我也知道了”，请问：张老师的生日是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分12分）
等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，设数列的前项和为，求.
18.（本题满分12分）
某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月，12个月，18个月，24个月，36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如下表：
以上表中各种贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率.
（1）某大学2017年毕业生中共有3人准备申报此项贷款，计算其中恰有两人选择贷款期限为12个月的概率；
（2）设给某享受此项政策的自主创业人员补贴为X元，写出X的分布列；该市政府要做预算，若预计2017年全市有600人申报此项贷款，则估计2017年该市共要补贴多少万元.
19.（本题满分12分）
如图，四棱柱中，底面是菱形，平面，为的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若二面角为，求三棱锥的体积.
20.（本题满分12分）
如图，在矩形中，为的中点，分别是,的上的点，且满足：①;②直线与的交点在椭圆上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于轴，垂足为N,求梯形ORMN的面积的最大值.
21.（本题满分12分）
已知函数
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）在（1）的条件下，求函数在区间上的最大值；
（3）设函数，求证：当时，对恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分.
22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为，曲线（为参数）.
的极坐标方程为，曲线（为参数）.
（1）求曲线的直角坐标方程和的普通方程；
（2）极坐标系中两点都在曲线上，求的值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
（1）已知函数，若不等式的解集为，求的值；
（2）已知实数，且，求证：
长春市普通高中2017届高三质量监测（四）
数学（理科）参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. A 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C
7. D 8. B 9. D 10. B 11. A 12. A
简答与提示：
1.【命题意图】本题考查复数的基本概念及运算.
【试题解析】A 由可知，原式. 故选A.
2.【命题意图】本题考查集合交、补运算.
【试题解析】B 由，，
故 . 故选B.
3.【命题意图】本题考查分段函数的图像与性质.
【试题解析】B 根据分段函数的的图像可知，该函数的值域为.
故选B.
4.【命题意图】本题考查统计学中残差图的概念.
【试题解析】A 根据残差图显示的分布情况即可看出图1显示的残差分布集中，拟合度较好，故选A.
5.【命题意图】本题依据中华传统文化算法割圆术考查程序框图.
【试题解析】D 运行算法可获得结果24，故选D.
6.【命题意图】本题主要考查三角变换公式与三角函数的图像与性质.
【试题解析】C 由，则. 故选C.
7.【命题意图】本题考查三视图.
【试题解析】D 由图形补全法，将图形补全为长方体，进而获得该几何体的直观图，再求得该几何体的表面积为：
.
故选D.
8.【命题意图】本题考查二项式相关问题.
【试题解析】B 的展开式中，的系数是. 故选B.
9.【命题意图】本题主要考查正态分布的相关知识.
【试题解析】D . 故选D.
10.【命题意图】本题主要考查球内的几何体的相关性质.
【试题解析】B 由题可知为△的直径，令球的半径为，则，可得，则球的表面积为. 故选B.
11.【命题意图】本题考查双曲线的定义.
【试题解析】A 不妨设，则，则，，且，即为最小边，即，则△为直角三角形，且，即渐近线方程为，故选A.
12.【命题意图】本题是考查函数与导数的应用问题.
【试题解析】A 已知，则，
当时，恒成立，因此. 故选A.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16. 8月4日
简答与提示：
13.【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.
【试题解析】由题意可先画出可行域，再由目标函数的几何意义，判断最优解为 故，的最小值为.
14.【命题意图】本题考查向量的运算和几何意义.
【试题解析】由题意，则，
即，故.
15.【命题意图】本题考查解三角形的问题.
【试题解析】由正弦定理可得，可得，由余弦定理可得，再根据角分线定理可知，.
16.【命题意图】本题考查学生的逻辑推理能力.
【试题解析】根据甲说“我不知道，但你一定也不知道”，
可排除5月5日、5月6日、9月4日、9月6日、9月9日；
乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，
可排除2月7日、8月7日；甲接着说“哦，现在我也知道了”，
现在可以得知张老师生日为8月4日.
三、解答题
17.(本小题满分12分)
【命题意图】本题考查等差数列、等比数列的相关知识.
【试题解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
（2分）
（4分）
（6分）
（2）由（1）知， （8分）
（9分）
. （12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查学生对概率统计知识的理解，同时考查学生的数据处理能力.
【试题解析】(1)由题意知，每人选择贷款期限为12个月的概率为， （2分）
所以3人中恰有2人选择此贷款的概率为 （6分）
(2)由题意知，享受补贴200元的概率为,享受补贴300元的概率为，
享受补贴400元的概率为，即随机变量的分布列为 （9分）
X 200 300 400
P
（10分）
，元.
所以，2017年政府需要补贴全市600人补贴款18万元. （12分）
19.(本小题满分12分)
【命题意图】本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题.
【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，设与的交点为，连接，
因为为中点，为中点，所以，所以平面，
又因为在平面内，所以平面平面. （6分）
（Ⅱ）由于四边形是菱形，所以以为坐标原点，
分别以，，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，有，
，，，，有，，
设平面的法向量为，平面ACE的法向量为，
（8分）
由题意知，解得. （10分）
所以菱形为正方形，
所以三棱锥的体积. （12分）
20.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程及面积最值问题，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.
【试题解析】（Ⅰ）设于交点为，，，由题可知，
， （4分）
从而有，整理得，即为椭圆方程. （6分）
（Ⅱ），设，有，
从而所求梯形面积， （8分）
令，，
令， （10分）
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以当时取最大值. （12分）
21.(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性等，考查学生解决问题的综合能力.
【试题解析】（Ⅰ），令可得，或.
（2分）
又，则可知在和上单调递减；在上单调递增.
（4分）
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，当，即时，在上单调递增，
则最大值为； （6分）
当，即时，在单调递增，在上单调递减，
则的最大值为. （9分）
（Ⅲ）要证，即证， （10分）
令，则，
又，可知在内存在极大值点，又，，
则在上恒大于2， （11分）
而在上恒小于2，因此在上恒成立.
（12分）
22. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化.
【试题解析】（Ⅰ）由题意可知. （5分）
（Ⅱ）由点在曲线上，则
，
，，
因此. （10分）
23.(本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查含绝对值不等式以及不等式证明的相关知识，本小题重点考查考生的化归与转化思想.
【试题解析】（Ⅰ） 因为，所以，
又因为不等式的解集为或，解得. （5分）
（Ⅱ）
（10分
