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河南省2017届高三下学期质量检测 数学理
河南省高三质量检测考试
数学试卷（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．
2、请将各题答案填在试卷后面的答题卡上．
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，若，则的值可以是（ ）
A． B． C． D．
2.已知复数，在复平面对应的点在第四象限，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
3.为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是 （ ）
4. 已知，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，请人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问，米几何？”右图示解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出点（单位：升）则输入的值为 （ ）
A． B． C． D．
6. 已知双曲线过点，过点的直线与双曲线的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
7. 若为奇函数，且是函数的一个零点，额下列函数中，一定是其零点的函数是（ ）
A． B． C． D．
8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9. 在中，是上一点，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
10. 已知椭圆的右焦点为为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11. 如图，矩形中，为边的中点，将直线翻转成平面)，若分别为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）
A．与平面垂直的直线必与直线垂直
B．异面直线与所成角是定值
C．一定存在某个位置，使
D．三棱锥外接球半径与棱的长之比为定值
12.若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点轴上，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知实数满足条件，则的最小值为 ．
14.把3男2女工5名新生分配到甲、乙两个班，每个班分别的新生不少于2名，且甲班至少分配1名女生，则不同的分配方案种数为 ．
15.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个
单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，
则 ．
16.在中，分别是角的对边，的面积为，
且，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，且，在等比数列中，.
（1）求数列及的通项公式；
（2）设数列的前项和为，且，求.
18. （本小题满分12分）
某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标，现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知6个招标问题中，甲公司可正确回答其中的4到题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每道的回答都是相互独立、互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
19. （本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，
，点在上，且.
（1）已知点在，且，求证：平面平面；
（2）当二面角的余弦值为多少时，直线与平面所成的角为？
20. （本小题满分12分）
已知是抛物线上的一点，以点和点为直径的圆交直线于两点，直线与平行，且直线交抛物线于两点.
（1）求线段的长；
（2）若，且直线与圆相交所得弦长与相等，求直线的方程.
21. （本小题满分12分）
设函数.
（1）若直线和函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若存在正实数，使对任意，都有恒成立，
求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
23. （本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；
（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；
（2）若关于的不等式的解集为，求的值.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCDCB 6-10: ABACD 11、C 12：B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：（1），，所以且， ①
所以， ②
因为数列是等差数列，所以，即，
由①②得，所以，
所以，则.
（2）因为，所以，
所以
.
18.解：（1）由题意可知，所求概率,
(2)设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为，
，
则的分布列为：
，
设乙公司正确完成面试的题数为，则取值分别为，
，
则的分布列为：
所以(或因为，所以)
，
由可得，甲公司成功的可能性更大.
19.证明：因为，所以C，
因为底面是直角梯形，，
所以，即，
所以，
因为，所以.
所以四边形是平行四边形，则,
所以，
因为底面，所以，
因为，
所以平面，因为平面，所以平面平面.
(2)因为，所以平面，则为直线与平面所成的角，
若与平面所成角为，则，即.
取的中点为，连接，则，以坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
所以，
设平面的法向量，则，
即，令，则，，
因为是平面的一个法向量，
所以，
即当二面角的余弦值为时，直线与平面所成的角为.
20.解：（1）设，圆的方程，
令，得，所以 ，
（2）设直线的方程为，则
由 消去，得.
，
因为，所以，则，
所以，解得或，
当或时，点到直线的距离为，
因为圆心到直线的距离等于到直线的距离，所以，
又，消去得，求得，
此时，直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
21.（1）设切点的坐标为，由，得，
所以切线方程为，即，
由已知和为同一条直线，所以，
令，则，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以，
当且仅当时等号成立，所以.
（2）①当时，有（1）结合函数的图象知：
存在，使得对于任意，都有，
则不等式等价，即，
设 ，
由得，由得，
若，因为，所以在上单调递减，
因为，
所以任意，与题意不符，
若，所以在上单调递增，
因为，所以对任意符合题意，
此时取，可得对任意，都有.
②当时，有（1）结合函数的图象知，
所以对任意都成立，
所以等价于，
设，则，
由得得，，
所以在上单调递减，注意到，
所以对任意，不符合题设，
总数所述，的取值范围为.
22.（1）由，得，
化成直角坐标方程，得，即直线的方程为，
依题意，设，则
到直线的距离，
当，即时，.
（2）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，
所以对，有恒成立，
即 （其中）恒成立，
所以，又，解得，
故的取值范围为.
23.解：（1）当时，取得最大值为，
因为，当且仅当取最小值4，
因为关于的不等式有解，
所以，即实数的取值范围是.
（2）当时，，
则，解得，
所以当时，，
令，得，
所以，则.
