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蚌埠市2017届高三年级第三次教学质量检查考试
数学（文史类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的实部与虚部相等，则实数（ ）
A． B． C． D．
2.已知集合，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3.已知向量夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．
4. 已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）
A． B． C. D．
5.已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C. D．
6.已知平面平面，直线均不在平面内，且，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C.若，则 D．若，则
7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值（ ）
A． B． C. D．
8.设抛物线的焦点为，准线为为抛物线上一点，为垂足．若直线的斜率为，则（ ）
A． B． C. D．
9.已知函数是奇函数，直线与函数的图象的相两个相邻交点的距离为，则（ ）
A．在上单调递减 B．在上单调递减
C.在上单调递增 D．在上单调递增
10.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个个继续坐着，那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）
A． B． C. D．
11.在一圆柱中挖去一圆锥所得的工艺部件的三视图如图所示，则工艺部件的表面积为（ ）
A． B． C. D．
12.若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数，若，则 ．
14.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：
甲说：“是或作品获得一等奖”
乙说：“作品获得一等奖”
丙说：“两项作品未获得一等奖”
丁说：“是作品获得一等奖”
若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 ．
15.已知实数满足关系，则的最大值为 ．
16.已知数列满足，若，则的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知的内角的对边分别为，且．
（I）求角；
（II）若，求面积的最大值．
18.生产甲乙两种精密电子产品，用以下两种方案分别生产出甲乙产品共种，现对这两种方案生产的产品分别随机调查了各次，得到如下统计表：
①生产件甲产品和件乙产品
正次品 甲正品
甲正品
乙正品 甲正品
甲正品
乙次品 甲正品
甲次品
乙正品 甲正品
甲次品
乙次品 甲次品
甲次品
乙正品 甲次品
甲次品
乙次品
频 数
②生产件甲产品和件乙产品
正次品 乙正品
乙正品
甲正品 乙正品
乙正品
甲次品 乙正品
乙次品
甲正品 乙正品
乙次品
甲次品 乙次品
乙次品
甲正品 乙次品
乙次品
甲次品
频 数
已知生产电子产品甲件，若为正品可盈利元，若为次品则亏损元；生产电子产品乙件，若为正品可盈利元，若为次品则亏损元．
（I）按方案①生产件甲产品和件乙产品，求这件产品平均利润的估计值；
（II）从方案①②中选其一，生产甲乙产品共件，欲使件产品所得总利润大于元的机会多，应选用哪个？
19.如图所示，四棱锥，已知平面平面，．
（I）求证：；
（II）若，求三棱锥的体积．
20.已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．
21.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．
（I）求的解析式及单调递减区间；
（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位，建立极坐标系．曲线．
（I）若直线与曲线相交于点，证明：为定值；
（II）将曲线上的任意点作伸缩变换后，得到曲线上的点，求曲线的内接矩形最长的最大值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知，函数的最小值为．
（I）求证：；
（II）若恒成立，求实数的最大值．
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. （I）
，
（II），
由余弦定理得：，
，
当且仅当时，面积的最大值为．
18.（I）由所给数据得生产件甲产品和件乙产品利润频率表
利 润
频 率
件产品平均利润的估计值为
（元）
（II）方案①生产的件元件所得总利润大于元的情形有，
频率是．
方案②生产的件元件所得总利润大于元的情形有，
频率是．
因为，所以选择方案②．
19. 证明：中，
由，
解得，从而
．
平面平面，平面平面，
平面．又平面．
（II）
中边上的高长为．
，
由（I）知，三棱锥底面上的高长为，
．
20.（I）由题意得：，
解得：，
椭圆的方程为．
（II）依题意，设直线方程为：，
则，且．联立，
得，
，
又直线的方程为，
即
而，
直线的方程为，
故直线地定点．
21.（I），
又由题意有：，
故
此时，，
由或，
函数的单调减区间为和
（说明：减区间写为的扣分）．
（II）要恒成立，
即
①当时，，则要：恒成立，
令，
再令，
在内递减，
当时，，
故，
在内递增，；
②当时，，则要：恒成立，
由①可知，当时，，
在内递增，
当时，，故，
在内递增，，
综合①②可得：，
即存在常数满足题意．
22.（I）曲线．
，
．
（II）伸缩变换后得．其参数方程为：．
不妨设点在第一象限，由对称性知：
周长为
，（时取等号）周长最大为．
23.（I），
，
显然在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
．
（II）恒成立，恒成立，
当时，取得最小值，
实数的最大值为．
