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江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 数学文
江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考
数学（文科）试卷
考试用时：120分 全卷满分：150分
命题人：南昌二中 任淑珍 高安中学 章勇生
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z的虚部为（ ）
A． B．﹣ C． D．
2．已知全集，集合，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
3. 已知等差数列的公差和首项都不等于,且,,成等比数列，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4. 高三某班有学生36人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、23号、32号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（ ）
A．13 B．14 C．18 D．26
5. 若双曲线的渐近线将圆平分,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
7.下列说法中错误的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B.命题“”的否定为“”
C.设命题p：对任意，；命题q：存在，，则为真命题
D.命题“若x，y都是偶数，则是偶数”的否命题是“若x、y都不是偶数，则不是偶数”
8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走，遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
9. 如图，非零向量，，且点为垂足，若向量，则实数的值为（ ）
A. B. - C. D.
10．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几
何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
11.若变量满足约束条件，且，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）
A． B． C． D．
12.设是函数的导数，且满足，若是锐角三角形，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22～23题为选做题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知的周长等于且那么边长为_______.
14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为，P为抛物线上一点，PA⊥，A为垂足，如果AF的倾斜角为，则|PF|= .
15.如图，在长方体中，， 点M是棱AD的中点，N在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界)，若∥平面CMN，则线段长度最小值是________.
16.设函数f(x)=，若函数有三个零点，则实数m的取值范围________.
三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本题满分12分）
已知等比数列的各项均为正数，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和Sn.
18、（本小题满分12分）
传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
优秀 合格 合计
大学组
中学组
合计
注：，其中.
0.10 0.05 0. 005
2.706 3.841 7.879
(Ⅱ)若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
（Ⅲ）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，多面体是由三棱柱截去一部分后而成，是的中点.
（Ⅰ）若在上，且为的中点，求证：直线//平面
（Ⅱ） 若平面，, 求点到面的距离;
20．（本小题满分12分）
已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）、是椭圆上的两点，若直线与的斜率之积为，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
21、（本小题满分12分）
已知函数在x=1处的切线与直线平行。
（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f(x)在上的单调性。
（Ⅱ）若函数(为常数)有两个零点，
(1)求m的取值范围；
(2)求证：。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若射线与直线相交于点，求的值.
23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集。
（Ⅱ）若对任意时都有使得成立，求实数a的取值范围.
2017届高三九校第二次联考答案
文 科 数 学 试 题
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A B B D D B C C C D
1．已知复数是纯虚数（其中i为虚数单位，a∈R），则z的虚部为（ ）
A． B．﹣ C． D．
【答案】A
【解析】
∵复数是纯虚数，∴3﹣a=0，∴，∴z的虚部为， 故选：A
2．已知全集，集合，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
∴或，∴，故选B.
3. 已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（ A ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
故选：A
4.高三某班有学生36人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、23号、32号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为（ ）
A．13 B．14 C．18 D．26
【答案】B
【解析】∵高三某班有学生36人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，
∴样本组距为36÷4=9，则5+9=14，
即样本中还有一个学生的编号为14，
故选：B．
5. 若双曲线的渐近线将圆平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，圆心在渐近线上，所以，所以双曲线的离心率为，故选B.
6.为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
【答案】D
【解析】
7.下列说法中错误的是 （ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B.命题“”的否定为“”
C.设命题p：对任意，；命题q：存在，，则为真命题
D.命题“若x，y都是偶数，则是偶数”的否命题是“若x、y都不是偶数，则不是偶数”
【答案】D
【解析】命题“若x，y都是偶数，则是偶数”的否命题是“若x、y不都是偶数，则不是偶数”，原说法不正确，选D.
8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】时，， 时，，
时，， 时，退出循环，此时，
解得，故选B。
9.如图，非零向量且点为垂足，若向量则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】
10．如图，格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】该几何体如图，其体积为
故选C。
11若变量满足约束条件，且，则仅在点处取得最大值的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
【解析】可以看作和点的斜率，直线与轴交点，当时，仅在点处最大值
12.设是函数的导数，且满足，若是锐角三角形，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则，由题意可知，当时，，所以在上单调递增。
因为是锐角三角形，所以，所以，
即，又因为在上单调递增，
所以，从而有，故选D。
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.已知的周长等于且那么边长为＿＿＿＿。
【答案】
【解析】
14．设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果AF的倾斜角为，则|PF|= ．
【答案】
【解答】解：
由抛物线的定义可知：|PF|=|PA|
∴△APF为等腰三角形，
又∠AFx=，∴△APF为等边三角形
故答案为：4．
15. .如图，在长方体中，，点是棱的中点，在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界)，若∥平面，则线段长度最小值是＿＿＿＿
【答案】
【解析】取的中点,过点在面作的平行线交于
则易知面面,在中作,则为所求
16.设函数f(x)=，若函数有三个零点，则实数m的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
【答案】
解析：,设其图象如图所示则函数有三个零点，即为有两个根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在，令，若有一根为1，则，此时，另一根为，满足条件；当没有根为1时，根据抛物线性质，只需满足，即，所以
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本题满分12分）
已知等比数列的各项均为正数，且，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和Sn.
【解】（Ⅰ）设数列的公比为q，因为，则，即.
又q＞0，则. （3分）
因为，则，即，所以. （6分）
（Ⅱ）由题设，. （9分）
则. （10分）
所以. （12分）
18、（本小题满分12分）传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏。将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
（Ⅰ）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
优秀 合格 合计
大学组
中学组
合计
注：，其中.
0.10 0.05 0.005
2.706 3.841 7.879
（Ⅱ）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
（Ⅲ）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.
18. （Ⅰ）由条形图可知2×2列联表如下
优秀 合格 合计
大学组 45 10 55
中学组 30 15 45
合计 75 25 100
………………（4分）
没有95﹪的把握认为优秀与文化程度有关.…………………………（5分）
（Ⅱ）由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为.
所有参赛选手中优秀等级人数约为人.……………………（8分）
（Ⅲ）记优秀等级中4人分别为A，B，C，D，良好等级中的两人为E，F，则任取3人的取法有ABC，ABD，ABE，ABF，ACD，ACE，ACF，ADE，ADF，AEF，BCD，BCE，BCF，BDE，BDF，BEF，CDE，CDF，CEF，DEF共20种，其中有2名选手的等级为优秀的有ABE，ABF，ACE，ACF，ADE，ADF，BCE，BCF，BDE，BDF，CDE，CDF共12种，所以所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为。
19.（本小题满分12分）如图，多面体是由三棱柱截去一部分后而成，是的中点.
（Ⅰ）若在上，且为的中点，求证：直线//平面
（Ⅱ） 若平面，, 求点到面的距离;
解析：（Ⅰ）直线与平面的位置关系是平行.
其理由如下：
方法一：取的中点为的中点为，连接,
因为四边形为平行四边形，∥,
又是的中点，是的中点，∥，∥，
又平面,∥平面， …………2分
又分别是的中点，∥∥,又平面，
∥平面,…………… 4分
又,平面∥平面,又 平面,∥平面. …… 6分
方法二：取的中点为，连接,则是梯形的中位线，
∥, …………… 2分
又,∥,, …………… 4分
故四边形为平行四边形，∥,
又平面，∥平面. ……………6分
（Ⅱ）平面， 平面，,
又,∥,
,,
故，即, …………… 8分
又,,
平面,又平面，, …………… 10分
又∥，,又,平面，
所以点到面的距离为CD的长，即. …… 12分
20．（本小题满分12分）
已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）、是椭圆上的两点，若直线与的斜率之积为，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由。
解：（Ⅰ）设两圆的交点为，依题意有，
由椭圆定义知，解得； ……………………2分
因为，分别为椭圆的左右焦点，所以，解得，
所以求椭圆的方程为； ……………………4分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，设
又分
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得 （）
且，，
∴
∵，∴，
整理得， ……………………9分
代入（）得，
∵
原点到直线的距离
∴（定值）。
综上所述，的面积为定值3. ……………………12分
21、（本小题满分12分）已知函数在x=1处的切线与直线平行。
（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f(x)在上的单调性。
（Ⅱ）若函数(为常数)有两个零点，
求m的取值范围；
求证：。
解析：（Ⅰ）
，令，
在上单调递增，在上单调递减，所以时，
，即时，，
所以函数y=f(x)在上单调递减。……………………5分
（Ⅱ） (1)由条件可知，，
,，
要使函数有两个零点，则2m<0,即……………………7分
(2)由 (Ⅰ)可知，，
令，
所以即
又在上单调递减，所以即……………………12分
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点的射线与曲线相交于不同于极点的点，且点的极坐标为，其中.
（Ⅰ）求的值；
（2）若射线与直线相交于点，求的值.
22.解：
（1）曲线的普通方程为，曲线的极坐标方程为.
化简，得.由，得，∵，∴.……………………5分
（Ⅱ）射线的极坐标方程为，直线的普通方程为.
∴直线的极坐标方程为.
联立，解得.
∴.……………………10分
23、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）求不等式的解集。
（Ⅱ）若对任意时都有使得成立，求实数a的取值范围.
23.（Ⅰ）当时，
………………5分
（Ⅱ）对任意时都有使得成立，
等价于 …………………………7分
而，
只需…………………10分
