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2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1. 已知集合，则
A. B. C. D.
2. 的虚部为
A． B． C． D．
3. 已知向量满足则
A. B. C. D.
4. 已知满足：，若目标函数取最大值时的最优解有无数多个，则实数的值是
A. B. C. D.
5. 椭圆与双曲线有相同的焦点，且两曲线的离
心率互为倒数，则双曲线渐近线的倾斜角的正弦值为
A． B． C． D．
6. 一个几何体的三视图如右图所示，
则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
7.《孙子算经》是我国古代的数学著作,其卷下中
有类似如下的问题：“今有方物一束，外周一
匝有四十枚，问积几何？”如右图是解决该问
题的程序框图，若设每层外周枚数为，则输
出的结果为
A． B．
C． D．
8. 已知函数,则曲线在点处的切线方
程为
A. B. C. D.
9. 一条光线从点射出，经轴反射后与圆相交，则入射光线所
在直线的斜率的取值范围为
A. B. C. D.
10. 在拍毕业照时，六个同学排成一排照相，要求其中一对好友甲和乙相邻，且同学丙
不能和甲相邻的概率为
A. B. C. D.
11. 正四面体中，是棱的中点，是点在底面内的射影，则异面
直线与所成角的余弦值为
A． B. C. D．
12. 定义在上的可导函数，其导函数记为，满足，
且当时，恒有．若，则实数的取
值范围是
A. B. C. D.
2017年哈尔滨市第三中学第三次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）
13. 知，
则的值是 ．
14. 函数的图象可由函数的图象至少向右平
移 个单位长度得到．
15. 下列共有四个命题：
（1）命题“”的否定是“”；
（2）在回归分析中，相关指数为的模型比为的模型拟合效果好；
（3）则是的充分不必要条件；
（4）已知幂函数为偶函数，则.
其中正确的序号为 .（写出所有正确命题的序号）
16. 已知的三个内角的对应边分别为,且. 则使得
成立的实数的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. （本小题满分12分）
已知数列的前项和为，满足，且.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：.
18.（本小题满分12分）
为调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某重点高中数学教师对新入学的名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于小时的有人，余下的人中，在高三模拟考试中数学平均成绩不足分的占，统计成绩后，得到如下的列联表：
分数大于等于120分 分数不足120分 合 计
周做题时间不少于15小时 4 19
周做题时间不足15小时
合 计 45
（Ⅰ）请完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；
（Ⅱ）（i） 按照分层抽样的方法，在上述样本中，从分数大于等于120分和分数不足
120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到的不足120分且周做题时间不足
15小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
（ii） 若将频率视为概率，从全校大于等于120分的学生中随机抽取人，求这
些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19.（本小题满分12分）
如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为的菱形，且，⊥平面，
．
（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知抛物线，过焦点的动直线与抛物线交于两点，线段的中点为.
（Ⅰ）当直线的倾斜角为时，．求抛物线的方程；
（Ⅱ） 对于（Ⅰ）问中的抛物线，是否存在轴上一定点，使得
为定值，若存在求出点的坐标及定值，若不存在说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知函数，（且）为定义域上的增函数，是函数的导数，且的最小值小于等于.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设函数，且，
求证：.
请从下面所给的22、23题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）
已知曲线的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）设 ，若与曲线相交于异于原点的两点，
求的面积.
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