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江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 数学理
江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考
数学（理科）试卷
考试用时：120分 全卷满分：150分
命题人：南昌二中 周启新 高安中学 朱细秀
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，集合，则=（ ）
A． B． C． D．
3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，且满足，，则（ ）
A．－1 B． C．1 D．
5.将的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后再将所得图象向左平移个单位长度，则最后所得图象的解析式为（ ）
A. B. C. D.
6. 若双曲线的渐近线将圆平分，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于（ ）
A． B． C． D．
8．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）
A． B． C． D．
9. 给出下列四个命题：
①若样本数据的方差为16，则数据的方差为64；
②“平面向量夹角为锐角，则＞0”的逆命题为真命题；
③命题“，均有”的否定是“，使得≤”；
④是直线与直线平行的必要不充分条件．
其中正确的命题个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
11．记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若，则实数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．13
12．定义在上的函数满足,，其中是函数的导函数，若对任意正数，都有，则的取值范围是（ ）
A． （） B． （）
C． （） D． （）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．
13.设，则的展开式中的常数项为 .
14．在边长为1的正三角形中，设，，则__________．
15．过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，若，为坐标原点，则__________．
16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知向量，，设函数，
若函数的图象关于直线对称且．
(Ⅰ) 求函数的单调递减区间；
(Ⅱ) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，
求的最大值．
18．（本小题满分12分）
高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B，从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计表如下：
选考物理、化学、生物的科目数 1 2 3
人数 5 25 20
（Ⅰ）从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
（Ⅱ）从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目
数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）将频率视为概率，现从学生群体B中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“”的概率．
19．（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面ADC；
（Ⅱ）若AD＝2，直线CA与平面ABD所成角的正弦值为，求二面角E－AD－C的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知⊙：与⊙：，以，分别为左右焦点的椭圆：经过两圆的交点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ），分别为椭圆的左右顶点，，，是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知，函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数有两个相异零点，，求证：．(其中e为自然对数的底数)
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为．
（Ⅰ）求直线l以及曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求△PAB的面积．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）若a＝2时，解不等式：；
（Ⅱ）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考
数学（理）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1—5 BACCD 6—10 BABBC 11—12 A D
12．【解析】由可得，
即，令，则，且，
所以，令，
所以，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以，，即在上单调递减。
因为（当且仅当，时等号成立）
依题意，即。因为在上单调递减，所以，
解得（），故选D。
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．
13. 14． 15． 6 16．
16．【解析】由得（），
两式相减得：（），所以（），
两式相减得：（），
所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，
将代入及可得，
将代入（）可得，且，
要使得，恒成立，只需要即可，
所以，解得：，即实数的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）
…………………2分
函数的图象关于直线对称，则
则，且，则 …………………4分
∴，令，解得
∴函数的单调递减区间为 …………………6分
（Ⅱ），且A是△ABC内角，
∴，则，所以，则，
∵，由余弦定理
则，而，所以
，当且仅当时，
所以的最大值为．…………………12分
18．解：（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A
则
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
……………3分
（Ⅱ）由题意可知X的可能取值分别为0，1，2
，
…………………6分
从而X的分布列为
X 0 1 2
P
…………………8分
（Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名
相应的概率为，所以 …………………10分
所以事件“”的概率为
…………12分
19．（Ⅰ）证明：因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
又DC⊥BD所以DC⊥平面ABD，所以DC⊥AB，
又AD⊥AB ，所以AB⊥平面ADC …………………4分
（Ⅱ）因CD⊥平面ABD，所以∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角，
CD⊥平面ABD所以CD⊥AD
则
则，依题意得 所以，
即，所以 ………………8分
取BD的中点O，连结AO，EO，因为，∴AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD
如图所示建立空间直角坐标系，
则，，，，，
由（1）可知AB⊥平面ADC，则平面ADC的法向量，
设平面ADE的法向量，，，
则，即，令，得， ………10分
所以，所以，，由图可知二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为． ……………12分
20．解：（Ⅰ）设两圆的交点为，依题意有，
由椭圆定义知，解得； ……………………2分
因为，分别为椭圆的左右焦点，所以，解得，
所以椭圆的方程为； ……………………4分
（Ⅱ）解法一 由题可知，，设，∵是椭圆上的点，
∴，即，∴，
∵∥，∥，∴,………………6分
∵、、是椭圆上非顶点的三点，∴直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，，，
由，得，
由，得 （）
且，，
∴，
∵，∴，整理得， ……………………9分
代入（）得，
∵，
原点到直线的距离，∴（定值）。
综上所述，的面积为定值3. ……………………12分
（Ⅱ）解法二 同解法一可知，直线，的斜率存在且不为零，且,……6分
设直线的方程为，则直线的方程为，设，，
由得，用换可得，则，………9分
因为，所以与异号，
∴（定值）。
综上所述，的面积为定值3. ……………………12分
21．解：（Ⅰ）的定义域为，，
① 当时，恒成立，在上单调递增，
② 当时，令，解得，
时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；…………5分
（Ⅱ）证法一 要证：，则证，
即证，
不妨设，∵，是函数的零点，则，，
所以，，
所以，，
则，……7分
则转化为证：，令，则，
于是即证：，可化为，即证，…………9分
构造函数，，
令，则，则在单增，则，
则，则在单增，则，即成立，
所以成立. …………………12分
证法二 的定义域为，要证：，则证，
即证，令，，
即证，也即证， …………………6分
因为，是函数的相异零点，则，，
所以，即，所以，，
所以，…………………8分
不妨设，则，令（），
要证，则转化为证（其中），即证，……10分
令（），则，
，∴在上单调递增，∴，
∴ 在上单调递增，∴，即成立，
从而原命题成立………12分
证法三 的定义域为 ，要证：，则证，
即证，令，，，
则转化为证明命题“函数有两个相异的零点，，求证”，……6分
∵，
①当时，，所以在上单调递增，此时没有两个零点，不合题意；
②当时，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
要使有两个相异零点，则，解得；
且时，，时，，…………………8分
不妨设，要证，即证，
而，所以，，
而函数在上单调递增，要证，只要证，而，即证，
由于，而，即，
∴ （），记（），…………10分
∴，
令（），则，
∴在上单调递增，则，
∴，∴在上单调递减，则，即成立，
从而原命题成立 . …………………12分
22.解：（Ⅰ）由消去得到，则，∴，
所以直线l的极坐标方程为（）…………………2分
曲线，则
则曲线C的极坐标方程为 ……………5分
（Ⅱ）由，得到，设其两根为，，
则，,∴，
∵点P的极坐标为，∴，，
∴ ……10分
23. （Ⅰ）当时，原不等式即，
，
或，
或，
所以原不等式的解集为 …………………5分
（Ⅱ）
当时，，依题意，
所以或，解得或，
所以实数a的取值范围为 …………10分
