【例38】 已知函数 ( )．
(I) 证明： 是 上的增函数；
(II) 若 在 上的值域是 ，求 的值．
【分析】 证明函数的单调性，可以考虑运用定义或导数知识；对于连续函数，在单调性确定之后，函数在给定闭区间上的值域容易由已知区间的端点函数值表示．
【答案】 (I) 法一： 设 ，且 ，
则 ，
∴ ．
∵ ，则 ， ，
∴ ， 是 上的增函数．
法二： 由已知，当x>0时， >0，
∴ 是 上的增函数．
(II) 由(I)知， 在 上单调递增，当 在 上的值域是 时，有 即 ．
【说明】 本题主要考查函数的单调性证明及其应用，能力要求层次为掌握，属于中档题．函数的单调性是函数的重要性质，与不等式、最值(值域)等有密切联系．研究函数的单调性，定义是基础，导数是重要工具．
【例 39】 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x(单位：小时)与当于投篮命中率y之间的关系：
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0．4 0．5 0．6 0．6 0．4
(Ⅰ) 求小李这 5天的平均投篮命中率为；
(Ⅱ) 用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率．
【分析】 (Ⅰ)用平均数的定义可求解；(Ⅱ)先利用表格给出的数据求出线性回归方程，再以此为基础求第六天的命中率．
【答案】 0.5；0.53．
【说明】 本题主要考查平均数和线性回归方程等基本知识，数据统计中最常用的回归分析以及运算能力，能力要求层次为理解，属于较难题．
【例40】 锐角 中，角 的对边分别为 ，且 ．
(Ⅰ) 求角B；
(Ⅱ) 若 ，且 ，求b．
【分析】 的结构，加上解题目标“求 中的角”的导向，考虑运用正弦定理．对于(Ⅱ)，表示向量的数量积之后，根据已知条件选择关系解三角形即可．
【答案】 (Ⅰ) 由 及正弦定理，得
，
即 ， ， ．
是锐角三角形， ， ．
(Ⅱ) ∵ ，∴ ，
∴ ．又∵ ，∴ ．
∴ ．
【说明】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，能力要求层次为掌握，属于较难题．
【例41】如图，在三棱锥 中， ， 为 的中点， ⊥平面 ，垂足 落在线段 上.
(Ⅰ) 证明： ⊥ ；
(Ⅱ) 已知 ， ， ， .求二面角 的大小.
【分析】 (Ⅰ)欲证 ⊥ ，转化为证明 平面APD，即证明AD⊥BC，PO⊥BC；(Ⅱ)欲求二面角 的大小，即求其二面角的平面角的大小，因此，需作出二面角的平面角∠BMC，再利用已知条件解三角形BMC，求得平面角∠BMC．
【答案】 (Ⅰ) 由AB=AC，D是BC的中点，得AD⊥BC．又PO⊥平面ABC，得PO⊥BC．因为PO∩AD=O，所以BC⊥平面PAD，故BC⊥PA.
(Ⅱ) 如图，在平面PAB内作BM⊥PA于M，连CM. 因为BC⊥PA.，得AP⊥平面BMC.所以AP⊥CM.故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角．
在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB= ，
在Rt△POD中， PD2=PO2+OD2，
在Rt△PDB中， PB2=PD2+BD2，
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.
在Rt△POA中， PA2=AO2+OP2=25，得PA=5．
又
从而 所以 ．同理CM .
因为BM2+MC2=BC2，所以 =90°，即二面角B-AP-C的大小为90°．
【说明】 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查化归与转化的思想，空间想象能力和推理论证能力，能力层次要求为掌握，属于较难题．
【例42】 若以点 ( )为圆心的圆与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，其中 为原点．
(Ⅰ) 求证： 的面积为定值；
(Ⅱ) 若直线 与 交于点 ，且 ，求 的方程．
【分析】 (Ⅰ)欲求三角形AOB的面积，需要求得两直角边OA，OB的长，通过求圆与坐标轴的交点解决问题；(Ⅱ)关键抓住OM=ON这一条件，得出点O在MN的中垂线上，同时圆心C必在弦MN的中垂线上，从而OC为MN的中垂线，根据两直线垂直斜率互为负倒数解决问题．
【答案】 (Ⅰ) 由题意知， 的半径 ( )，则 方程为
．
由
由
∴ (定值)．
(Ⅱ) 由 知，线段MN的中垂线经过原点O，且经过圆心 ．
∴ 的斜率等于 的斜率的负倒数，即 ，
即 ．
∴ 的方程为 或 ．
【说明】 本题主要考查圆的方程，三角形面积，定值问题，垂径定理，两直线垂直的性质，数形结合的思想和化归与转化的思想，抽象概括能力与运算求解能力，能力层次要求为掌握，属于较难题．
【例43】 已知点P在椭圆 上，且以点P及该椭圆的两个焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．
【分析】 由椭圆方程易得椭圆的两个焦点坐标，从而得出焦距 ，由点P的纵坐标的绝对值为 的一条高的长，可得 的面积的表达式，进而得出点P的纵坐标，由点P在椭圆上，求出点P的坐标．
【答案】 由椭圆方程 得两焦点坐标为 ，所以 . 设点P(x,y)，则 ，所以 .
因为点P在椭圆 上，所以 ，解得 .
所以所求点P有四个，分别为
【说明】 本题主要考查椭圆的焦点坐标，焦距，点在曲线上，三角形面积求法，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，运算求解能力，应用意识，能力要求层次为掌握，属于较难题．
【例44】 已知 ，函数 ．
(I) 是否存在实数a使 为奇函数；
(II) 探索方程f(x)=0的实根个数．
【分析】 对于(I)，利用奇函数定义，根据f(-x)=-f(x)建立a的等式得结论；对于(II)，可考虑运用零点存在性定理或者函数的图象解答．
【答案】 (I) 函数的定义域为R，设 ，则 ．
令 = ，得 a=1．因此，存在实数a=1，使 为奇函数．
(II) 方程f(x)=0即 =0，
当a≤0时，f(x)<0恒成立，方程显然无解；
当a>0时，方程变形得 ，设 ．此时，若a≥2，则g(x)>0恒成立，方程无解；若0<a<2，方程g(x)=0有且仅有一个实数根．
所以，当a≤0 或a≥2时，方程f(x)=0实根的个数为0；当0<a<2时，方程f(x)=0有且仅有一个实根．
【说明】 本题主要考查函数的性质、方程的根(函数零点)的个数的确定和分类讨论思想，能力要求层次为掌握，属于较难题．以上解答中，结论“当0<a<2时，方程g(x)=0有且仅有一个实数根”的获得，可以运用零点存在性定理，也可以运用函数的图象(对于函数的问题，利用函数的图象直观，数形结合进行思考，往往使问题的解决更加简洁．)．
【例45】 现需要围建一个面积为 的矩形场地，场地的一面利用旧墙(但旧墙必须维修)，其它三面全部新建，并在旧墙对面的新墙上留一个宽为 的进出口(如图所示). 已知旧墙的维修费用为 元/ ，新墙的建造价为 元/ ．设利用旧墙的长度为 ( )，修建此矩形场地围墙的总费用为 (元).
(Ⅰ) 将 表示为 的函数，并写出定义域；
(Ⅱ) 试确定 ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出这个最小值.
【分析】 对于实际应用型的问题，应注意阅读审题、分析题意、建立关系，根据建立的关系(数学模型)的特征联系相应的数学方法解决问题．
【答案】 (Ⅰ) 当旧墙的长度为 时，矩形场地的宽度为 ，则新墙的总长度为 .
∴ 旧墙的维修费用 ，新墙的修建费用为 .
总费用 ，化简得
．
由于要在旧墙对面的新墙上要留一个宽为 的进出口，所以 ．
故 ， ．
(Ⅱ) 由 及 ，知
，
其中，当且仅当 ，即 时，“=”成立．
∴ 当 时，总费用的最小值为 元．
【说明】 本题主要考查运用函数、不等式知识解决实际问题以及分析问题、解决问题的能力，能力要求层次为掌握，属于较难题．
【例46】 已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(I) 求a，b的值；
(II) 证明：当x>0，且 时， ．
【分析】 曲线的切线问题，从导数的几何意义入手；涉及函数的不等关系，基本思路是考虑函数的单调性(导函数的函数值符号)．
【答案】 (Ⅰ) 显然， ．由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即 解得 ， ．
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ，所以 ．
考虑函数 ，则
．
所以当 时， ，即h(x)在(0,1)和(1,+∞)上是减函数，而 ，故
当 时， ，可得 ；
当 时， ，可得 ；
从而当
【说明】 本题主要考查导数的几何意义(与直线相切于曲线的联系)、导数的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系)，推理与运算能力，能力要求层次为掌握，属于较难题．
六、样题及参考答案
四川省普通高中学业水平考试(样卷)
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页. 全卷满分100分，考试时间为90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+1=0互相平行，则A的值为
(A) (B) 3 (C) (D)
2．一元二次不等式 的解集是
(A) (2，3) (B) (-3，-2)
(C) (D)
3．设集合 ，集合 ，集合 ，则 等于
(A) (B) (C) (D)
4．将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，出现“一次正面朝上、一次正面朝下”的概率是
(A) 0 (B) (C) (D) 1
5．设α∈{－1，1， ，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为
(A) 1 (B) 1，3 (C) －1， (D) －1，1，3
6．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表：
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
则这100人成绩的标准差为
(A) (B) 3 (C) (D)
7．已知 ，向量 与 垂直，则实数 的值是
(A) (B) (C) (D)
8．已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是
(A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 150°
9．若右图是一个棱锥的正视图、侧视图和俯视图，且图中三角形是直角边长均为1的直角三角形，四边形是边长为1的正方形，则此棱锥的体积等于
(A) 1 (B)
(C) (D)
10．阅读下面的程序框图，当输入变量 时，输出的结果是
(A) 3 (B) 8
(C) (D)
四川省普通高中学业水平考试(样卷)
数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
题号 二 三 总分 总分人
15 16 17 18 19
得分
注意事项：
1．第Ⅱ卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案直接填在题中横线上．
11．计算： __________．
12．椭圆 的右焦点的坐标为_____________．
13．已知 展开式中第四项的系数为__________．
14．若函数 在 时有极值10，则 的值分别为__________．
三、解答题：本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本题8分) 用定义证明：函数 在区间 上是增函数．
16．(本题8分) 如图，已知圆C与 轴和 轴都相切，圆心C的坐标为(2，2)．
(Ⅰ) 写出圆C的标准方程，并化为一般方程；
(Ⅱ) 求与圆C相切，且在 轴和 轴上的截距相等的直线方程．
17．(本题8分) 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，AD1与A1D相交于点O．
(Ⅰ) 判断AD1与平面A1B1CD的位置关系，并证明；
(Ⅱ) 求直线AB1与平面A1B1CD所成的角．
18．(本题10分) 已知函数 ，
(Ⅰ) 把 的表达式化简为 的形式；
(Ⅱ) 指出 在区间 上的单调区间、最大值及相应的x的值．
19．(本题10分) 已知等差数列 的公差d不为0，设 ，
．
(Ⅰ) 若q=1，a1=1，S3=15，求数列 的通项公式；
(Ⅱ) 若a1=d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值；
(Ⅲ) 若 ，证明： ( )．
四川省普通高中学业水平考试(样卷)数学试题
参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共10个小题，每小题4分，共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 (B) (D) (B) (C) (B) (D) (A) (C) (C) (A)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分)
11．1；12．(2，0)；13．280；14． ．
三、解答题(本大题共5个小题，共44分)
15．(本题8分)
设 ， 2分
则 ， 4分
即 ， 6分
∴ 函数 在区间 上是增函数． 8分
16．(本题8分)
(Ⅰ) 由已知，圆心C的坐标为(2，2)， 1分
又 圆C与 轴和 轴都相切，可得圆C的半径 ． 2分
所以，圆C的标准方程是 ． 3分
圆的一般方程为 ． 4分
(Ⅱ) 由已知，直线在 轴和 轴上的截距相等，可设直线方程为 ．
又该直线与圆C相切，所以 ，解得 ． 6分
故所求直线方程为： 或 ． 8分
17．(本题8分)
(Ⅰ) ． 2分
∵ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ，
∴ ． 4分
(Ⅱ)连结 ．∵ 于点O，
∴ 直线 是直线 在平面 上的射影．
∴ 为直线 与平面 所成的角． 6分
∵ ，∴ ，
∴ °． 8分
18．(本题8分)
(Ⅰ) =
= =sin2x 2分
∴ =2sin(2x )． 3分
(Ⅱ) 设 ，则u=2x ．
根据正弦函数的单调性可知，函数g(x)=2sinu在u 时递增，在u 时递减；且当u= 时，g(x)min= ；当u= 时，g(x)max=2． 6分
所以，当 时， 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ； 的最小值为f(x)min= ，相应的x=0； 的最大值为f(x)max=2，相应的x= ．
8分
19．(本题10分)
(Ⅰ) 由题设， = ，
将q=1，a1=1，S3=15代入，解得d=4，
所以数列 的通项公式为： ． 3分
(Ⅱ) 由已知，a1=d，且S1，S2，S3成等比数列，所以S22= S1S3，即
，
注意到d≠0，q≠0，解得q=-2． 6分
(Ⅲ) 由题设，有 bn= ，则
①
②
①-②得， 8分
①+②得， ③
③式两边同乘以 q，得
所以， =
= -
=2d( = ． 10分
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