点击下载：四川省泸州市2017届高三第三次教学质量诊断性考试 数学文
泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2.复数（其中是虚数单位）的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．-1
3.已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．16
4.已知平面向量，，则的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
5.某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力 4 6 8 10
识图能力 3 5 6 8
由表中数据，求得线性回归方程，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（ ）
A．9.2 B．9.8 C．9.8 D．10
6.已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交于点，则线段的长为（ ）
A．10 B．6 C．8 D．4
7.已知函数（）的图象沿轴向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音gèng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果的值为（ ）
A．4 B．5 C．2 D．3
10.已知中，，，以为焦点的双曲线（）经过点，且与边交于点，若的值为（ ）
A． B．3 C． D．4
11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数与（）的图象有且只有一个公共点，则所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，则 ．
14.设不等式组表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ．
15.若函数，（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
16.已知数列的前项和（），则数列的通项公式 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知的三个内角的对边分别为，若.
（1）求证：；
（2）若，，求边上的高.
18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
机床甲 8 12 40 32 8
机床乙 7 18 40 29 6
（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.
19. 如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上.
（1）当为何值时，平面？证明你的结论；
（2）求三棱锥的体积.
20. 设是椭圆（）的左焦点，是上一点，且与轴垂直，若，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）以椭圆的左顶点为的直角顶点，边与椭圆交于两点，求面积的最大值.
21. 已知函数（其中为自然对数的底数）
（1）设过点的直线与曲线相切于点，求的值；
（2）函数的的导函数为，若在上恰有两个零点，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线（为参数）经伸缩变换后的曲线为，以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）是曲线上两点，且，求的取值范围.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，若的最小值为2.
（1）求实数的值；
（2）若，且均为正实数，且满足，求的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD
二、填空题
13. 2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：
（1）因为，
所以，
因为，
所以
所以
即，
即，
因为，，所以，
所以或，
故；
（2）由及得，，
由余弦定理：得，
解得：，
由得，，
设边上的高为，则，
即，
所以.
18.解：
（1）因为甲机床为优品的频率为，
乙机床为优品的频率约为，
所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为；
（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为元
所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元
所以甲机床某天生产50件零件的利润为元
（3）由题意知，甲机床应抽取，乙机床应抽取，
记甲机床的2个零件为，乙机床的3个零件为，
若从5件中选取2件分别为共10种取法
满足条件的共有3种，分别为，
所以，这2件都是乙机床生产的概率.
19. 解：
（1）当时，平面，证明如下：
在梯形中，设，连接，
因为，，
所以，又，
因此，
所以，因为是矩形，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）连接，过点作于点，
因为平面平面，且交线为，
所以平面，即为点到平面的距离，
因为，，所以
又因为，平面平面，所以平面，
即为点到平面的距离，
20.解：
（1）因为点，与轴垂直，所以或，
则，
即，
故椭圆的方程为；
（2）点，设直线的方程为直线（），
代入椭圆方程消去得：，
设，则，所以，
直线的方程为直线，
同理可得，
所以的面积：
令，因为，则，
在上单增，
所以，所以,
面积的最大值为.
21.解：
（1）因为函数，所以，
故直线的斜率为，
点的切线的方程为，
因直线过，
所以，
即
解之得，
（2）令，
所以，
设，
则，
因为函数在上单增，
若在上恰有两个零点，
则在有一个零点，
所以，
∴在上递减，在上递增，
所以在上有最小值，
因为（），
设（），则，
令，得，
当时，，递增，
当时，，递减，
所以，
∴恒成立，
若有两个零点，则有，，，
由，，得，
综上，实数的取值范围是.
22.解：
（1）曲线化为普通方程为：，
又即代入上式可知：
曲线的方程为，即，
∴曲线的极坐标方程为.
（2）设，（），
∴
，
因为，
所以的取值范围是
23.解：
（1）①当时，即时，
则当时，，
解得或（舍）；
②当时，即时，
则当时，，
解得（舍）或
③当时，即，，
此时，不满足条件，
综上所述，或；
（2）由题意知，，
∵
当且仅当时取“”，
∴，所以的最小值为18
