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2017届广西高三5月份考前模拟适应性联合考试 数学理
2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数 的实部与虚部分别为（ ）
A．2，1 B．2， C．11， D．11，
2．已知集合 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．圆 ： 与直线 相交于 、 两点，则 等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
4． 的展开式中常数项为（ ）
A． B．160 C． D．
5．若 为等比数列 的前 项积，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．已知变量 ， 满足约束条件 则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．若正整数 除以正整数 后的余数为 ，则记为 ，例如 .如图所示程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的 等于（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
9．已知等差数列 的前 项和为 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为2
B．函数 的值域为
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象向左平移 个单位后得到 的图象
11．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 ： （ ， ）的左顶点为 ，点 .若线段 的垂直平分线过右焦点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C．3 D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．若正方体的外接球的表面积为 ，则该正方体的表面积为 ．
14．设向量 ， ，且 ，则 的值为 ．
15．若 ，则 ．
16．已知函数 与 在 上存在相同的零点，则 的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 及 的面积.
18．如图，在各棱长均为4的直四棱柱 中，底面 为菱形， ， 为棱 上一点，且 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
19．宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以为都是育婴中的一个重要话题.为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销量前5名的五个品牌奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：
（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名；
（2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到个位），并将数据填入如下饼状图中的括号内；
（3）试以（2）中的百分比作为概率，若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访，记 为被采访中购买飞鹤奶粉的人数，求 的分布列及数学期望.
20．设椭圆 ： （ ）的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点 为椭圆上一点.抛物线 ： （ ）的焦点 与点 关于直线 对称.
（1）求椭圆 及抛物线 的方程；
（2）过原点 的直线 与椭圆交于 、 ，与抛物线 交于 （异于原点），若 ，求 的面积.
21．已知函数 .
（1）若函数 在 上不单调，求实数 的取值范围；
（2）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，且 对 恒成立.已知 ， ，求证： .
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求曲线 的参数方程为曲线 的直角坐标方程；
（2）记曲线 与曲线 交于 ， 两点，求 .
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
2017年广西高三5月份考前模拟适应性联合考试
数学试卷参考答案（理科）
一、选择题
1-5:ADBAB 6-10:CCCBD 11、12：AA
二、填空题
13．12 14．2 15． 16．
三、解答题
17．解：（1） ， ，
， .
（2） ， ， .
，
, .
18．解：（1）证明： 底面 为菱形， .
在直四棱柱 中， 底面 ， .
， 平面 ，
又 平面 ， 平面 平面 .
（2）设 与 交于点 ， 与 交于点 ，以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，则 ， ， ， ，
则 ， ， .
设 为平面 的法向量，
则
取 ，则 .
设 为平面 的法向量，
则
取 ，则 .
，
二面角 的正弦值为 .
19．解：（1）该超市这两年品牌奶粉销量的前五强排名分别为：飞鹤奶粉，伊利奶粉，贝因美奶粉，雅士利奶粉，完达山奶粉.
（2）
（3）由（2）知，购买飞鹤奶粉的概率为 ， 的可能取值为0，1，2.
则 ， ， .
的分布列为
故 .
20．解：（1）由题可知 ，
又 ， ， ， 椭圆 的方程为 .
由题可知 ，
抛物线 的方程为 .
（2）易知直线 斜率存在，设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
， .
联立 ，得 ，
设 ，则 ， .
由 得 ，
，
解得 ，故直线 的方程为 .
到 的距离为 ，且 ， .
21．解：（1） ，
，
函数 在 上不单调，且 在 上单调递增， ， ，
即 的取值范围是 .
（2）由（1）可知， ， 切线的斜率为 ， ，解得 ，
， 对 上恒成立等价于 对 上恒成立.
令 ，则 ，
令 （ ），则 ，
函数 在 上单调递增，
， ，
存在 ，使得 ，
故当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 ，得 ，
，
.
22．解：（1）依题意， ，故曲线 的直角坐标方程为 ，即 ，
故曲线 的参数方程为 （ 为参数）；因为 ，故 ，
即曲线 的直角坐标方程为 .
（2）由 解得 或
故 .
23．解：（1） 可化为 ，
即 或 或
解得 或 ，所以不等式 的解集为 .
（2） 恒成立 ，
（当 时取等号），
；由 ，解得 或 ，
即 的取值范围是 .
