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湛江市2017年普通高考测试题（二）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知、，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．某同学利用课余时间做了一次社交软件使用习惯调查，得到列联表如下：
偏爱微信 偏爱QQ 合计
30岁以下 4 8 12
30岁以上 16 2 18
合计 20 10 30
则下列结论正确的是（ ）
A．在犯错的概率不超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关
B．在犯错的概率超过0.005的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关
C．在犯错的概率不超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关
D．在犯错的概率超过0.001的前提下认为社交软件使用习惯与年龄有关
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．，
B．已知服从正态分布，且，则
C．已知，为实数，则的充要条件是
D．命题：“，”的否定是“，”
5．已知双曲线（）的一个焦点与抛物线的焦点重合，则（ ）
A． B． C．2 D．1
6．某程序框图如图所示，若输出的值为31，则判断框内应填入的不等式是（ ）
A． B． C． D．
7．设实数、满足不等式组，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数（）的图象不可能是（ ）
A． B． C． D．
9．曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数（，）的图象相邻两条对称轴之间的距离为，且在时取得最大值2，若，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
11．底面是边长为1的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在上的函数，当时，，且对任意实数
（，），都有.若方程有且仅有三个实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量，，且，则向量和的夹角为 ．
14．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅监制的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为 ．
15．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ．
16．已知中，，，则面积的最大值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．观察下列三角形数表，数表（1）是杨辉三角数表，数表（2）是与数表（1）有相同构成规律（除每行首末两端的数外）的一个数表.
对于数表（2），设第行第二个数为（）（如，，）.
（Ⅰ）归纳出与（，）的递推公式（不用证明），并由归纳的递推公式求出的通项公式；
（Ⅱ）数列满足：，求证：.
18．某年级举办团知识竞赛.、、、四个班报名人数如下：
班别
人数 45 60 30 15
年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从10个关于团知识的题目中随机抽取4个作答，全部答对的同学获得一份奖品.
（Ⅰ）求各班参加竞赛的人数；
（Ⅱ）若班每位参加竞赛的同学对每个题目答对的概率均为，求班恰好有2位同学获得奖品的概率；
（Ⅲ）若这10个题目，小张同学只有2个答不对，记小张答对的题目数为，求的分布列及数学期望.
19．如图，在直三棱柱中，二面角是直二面角，，点是棱的中点，三棱锥的体积为1.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20．已知椭圆（）的两个焦点分别为和（），、是椭圆短轴的两端点，过点的直线与椭圆相交于另一点，且.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设直线上有一点（）在的外接圆上，求的值.
21．已知函数（其中，）.
（Ⅰ）当时，若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设函数的图象在两点、处的切线分别为、，若，，且，求实数的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线的普通方程；
（Ⅱ）极坐标方程为的直线与交、两点，求线段的长.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数（）.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若方程只有一个实数根，求实数的取值范围.
湛江市2017年普通高考测试题（二）
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题
1-5:DDABD 6-10:BCCBD 11、12：AC
二、填空题
13．（或） 14．1.6 15．乙 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）依题当，可归纳出.
所以，.
.
检验当时，上式也成立.
所以通项公式为.
（Ⅱ），.
.
又，.
18．解：（Ⅰ）、、、四个班参加竞赛的人数分别为：
，，，.
（Ⅱ）根据题意，班中每位参加竞赛的同学获得奖品的概率为，
所以班中恰好有2位同学获得奖品的概率为.
（Ⅲ）由题意，取值为2，3，4，服从超几何分布.
，，.
所以的分布列为：
2 3 4
所以.
19．解：（Ⅰ）证：过在平面内作，垂足为.
由题可知平面平面，且平面平面，
平面.
又平面，.
由题直三棱的性质可知，.
平面.
（Ⅱ）设，而.
由（Ⅰ）知，结合直棱柱的性质知平面.
平面，到平面的距离等于，
得.
以为原点，，，分别作为，，轴，建立如图直角坐标系.
则，，
，，.
设平面的法向量为，则有
得一个法向量.
.
设为直线与平面的所成角，则.
20．解：（Ⅰ），且，
点是点和点的中点.
不妨设，由，点的坐标为.
代入得：，
离心率.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
所以椭圆的方程可设为.
若，则.
线段的垂直平分线的方程为.
直线与轴的交点是外接圆的圆心，
因此外接圆的方程为.
直线的方程为，于是点的坐标满足方程组
，由解得.
故.
若，则，同理可得.
.
21．解：（Ⅰ）依题意：当，时，
.
，，且，.
0
单调递减 极小值 单调递增
函数在上的最小值为.
要令恒成立，只需恒成立，即：或（舍去）.
又，.
实数的取值范围是.
（Ⅱ）由可得：，
而，.
当时，则
.
即：，矛盾.
当时，则.
.
，，.
即：，令，则（），
.
设，则.
0
单调递减 极小值 单调递增
函数的最小值为.实数的最小值为.
22．解：（Ⅰ）可化为：.
即：.
（Ⅱ）.
，
即：，
直线的普通方程为.
曲线是以点为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线的距离.
.
23．解：（Ⅰ）依题意：原不等式等价于：，
当时，，即：，此时解集为；
当时，，即：，此时；
当时，，即：，此时.
综上所述：所求的解集为：.
（Ⅱ）依题意：方程等价于，
令.
（图象如图）.
要令原方程只有一个实数根，只需或.
实数的取值范围是.
