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2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）
数学（文）
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知 是虚数单位，则 （ ）
A．1 B． C． D．
2．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，则选中的花中没有红色的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为58，则判断框中应填入的条件为（ ）
A． B． C． D．
4．命题“ ， ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．抛物线 的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离是 ，则双曲线的虚轴长是（ ）
A． B． C．3 D．6
6．若函数 是偶函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， 是单位圆 上的两个动点， ， .若 是线段 的中点，则 的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．已知函数 （ ）的图象关于直线 对称且 ，如果存在实数 ，使得对任意的 都有 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．设集合 ， ，则 ．
10．如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图为等边三角形，则该几何体的体积为 ．
11．若曲线 在 处的切线与直线 平行，则实数 ．
12．已知两圆 和 相交于 ， 两个不同的点，且直线 与直线 垂直，则实数 ．
13．若 ， ，且 ，则 的最小值为 ．
14．函数 的定义域为实数集 ， 对于任意的 ，
，若在区间 上函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求 的值.
16．某钢厂打算租用 ， 两种型号的火车车皮运输900吨钢材， ， 两种车皮的载货量分别为36吨和60吨，租金分别为1.6万元/个和2.4万元/个，钢厂要求租车皮总数不超过21个，且 型车皮不多于 型车皮7个，分别用 ， 表示租用 ， 两种车皮的个数.
（Ⅰ）用 ， 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）分别租用 ， 两种车皮的个数是多少时，才能使得租金最少？并求出此最小租金.
17．如图，点 是菱形 所在平面外一点， ， 是等边三角形， ， ， 是 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证：平面 平面 ；
（Ⅲ）求直线 与平面 的所成角的大小.
18．已知等差数列 的公差 ，首项 ， ， ， 成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ） 为数列 的前 项和，比较 与 的大小.
19．已知椭圆 ： （ ）与 轴交于 ， 两点， 为椭圆 的左焦点，且 是边长为2的等边三角形.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 （ 与 不重合），则直线 与 轴交于点 ，求 面积的取值范围.
20．已知函数 ， .
（Ⅰ）若 ，求函数 在 的单调区间；
（Ⅱ）方程 有3个不同的实根，求实数 的取值范围；
（Ⅲ）当 时，若对于任意的 ，都存在 ，使得 ，求满足条件的正整数 的取值的集合.
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）
数学试卷（文科）评分标准
一、选择题
1-4: DABD 5-8: BCAB
二、填空题
9． 10． 11．2
12．3 13． 14．
三、解答题
15．解：（Ⅰ）在 中， ， .所以
由余弦定理可得
又因为 ，所以
（Ⅱ） ，
所以
16．解：（Ⅰ）由已知 ， 满足的数学关系式为
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分所示.
（Ⅱ）设租金为 元，则目标函数 ，所以 ，这是斜率为 .在 轴上的截距为 的一族平行直线.
当 取最小值时， 的值最小，又因为 ， 满足约束条件，所以由图可知，当直线 经过可行域中的点 时，截距 的值最小，即 的值最小.
解方程组 ，得点 的坐标为 .
所以 （万元）.
答：分别租用 、 两种车皮5个，12个时租金最小，且最小租金为36.8万
17．解：（Ⅰ）证明：连接 .
在菱形 中， 为 中点，且点 为 中点，
所以 ，
又 平面 ， 平面 .
所以 平面
（Ⅱ）证明：在等边三角形 中，
， 是 的中点，所以 .
在菱形 中， ， ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 .
在菱形 中， .
又 ，所以 平面 .
又 平面 ，
所以平面 平面 .
（Ⅲ）因为 平面 ， 平面 ，所以
又因为 ， 为 中点，所以
又 ，所以 平面 ，则 为直线 在平面 内的射影，
所以平面 为直线 与平面 的所成角
因为 ，所以 ，
在 中， ，所以
所以直线 与平面 的所成角为
18．解：（Ⅰ）由已知 ，
则 .又因为 ，所以 ，
所以
（Ⅱ）设 ，
所以
（Ⅲ） .
设 ， ，
因为 .
当 时， ，所以当 时， 单调递增，
所以 ，而 ，
所以 时，
经检验，当 时，仍有
综上， .
19．解：（Ⅰ）依题意可得 ，且 ，
解得 ， .
所以椭圆 的方程是 .
（Ⅱ）由 消 ，得 .
设 ， ，则 .
且 ， .
经过点 ， 的直线方程为 .
令 ，则 .
又 ， ，
故当 时，
.
所以
直线 过定点
令 ，则
在 上单调递减
.
20．解：（Ⅰ）当 ， 时， ，
从而 ，
，
的单调增区间为 ， 的单调减区间为
（Ⅱ）方程 ，即 ，即
所以当 时，方程有两个不同的解 ， ；
当 时，方程有三个不同的解 ，1， ；
当 时，方程有两个不同的解 ，1.
综上，当 时，方程有三个不同的解 ，1，
（Ⅲ）当 ， 时， ， ，
所以函数 在 上是增函数，
且 .
所以当 时， ，
当 时，
所以 ，
因为对任意的 ，都存在 ，使得 ，
从而 ，
所以 ，即 ，即 （ ）
因为 为 单调递增，
且 满足，而 ，不满足题意，所以 时，均不满足题意，
所以满足条件的正整数 的取值的集合为 .
