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西城区高三模拟测试
高三数学（文科）2017.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知集合，，那么
（A） （B）
（C） （D）
2．设向量，．则与垂直的向量可以是
（A） （B） （C） （D）
3．下列函数中，值域为的是
（A） （B）
（C） （D）
4．若抛物线的焦点到其准线的距离是，则
（A） （B） （C） （D）
5．设，，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
6．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是
（A） （B） （C） （D）
7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
8．函数．若存在，使得，则k的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数____．
10．执行如图所示的程序框图，输出的值为____．
11．在中，角，，的对边分别是，，．若，
，，则____．
12．已知圆．圆与圆关于直线对称，则圆的方程是____．
13．函数则____；方程的解是____．
14．某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的定义域；
（Ⅱ）设是锐角，且，求的值．
16．（本小题满分13分）
某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．
整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表
分数区间 频数
（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；
（Ⅱ）从对B餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
17．（本小题满分13分）
设是首项为,公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．记，．
（Ⅰ）若是等差数列，求的值；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18．（本小题满分14分）
如图，在几何体中，底面为矩形，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．
19．（本小题满分13分）
已知函数，其中．
（Ⅰ）给出的一个取值，使得曲线存在斜率为的切线，并说明理由；
（Ⅱ）若存在极小值和极大值，证明：的极小值大于极大值．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率是，且过点．直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线分别与轴交于点．判断，的大小关系，并加以证明．
西城区高三模拟测试
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2017.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．A 2．A 3．D4．C
5．D6．B7．A8．D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．10．11．
12．13．；或14．；
注：第13、14题第一空2分，第二空3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由，得，． [ 3分]
所以 函数的定义域是．[ 4分]
（Ⅱ）依题意，得． [ 5分]
所以．① [ 7分]
因为是锐角，所以 ，[ 8分]
所以，[ 9分]
①式化简为． [10分]
所以 ，[12分]
所以． [13分]
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由A餐厅分数的频率分布直方图，得
对A餐厅评分低于的频率为，[ 2分]
所以，对A餐厅评分低于的人数为． [ 3分]
（Ⅱ）对B餐厅评分在范围内的有2人，设为；
对B餐厅评分在范围内的有3人，设为．
从这5人中随机选出2人的选法为：
，，，，，，，，，，共10种．[ 7分]
其中，恰有1人评分在范围内的选法为：，，，，，，共6种．[ 9分]
故2人中恰有1人评分在范围内的概率为．[10分]
（Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：
由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A餐厅评分低于的人数为，
所以，A餐厅得分低于30分的人数所占的比例为．
B餐厅评分低于的人数为，
所以，B餐厅得分低于30分的人数所占的比例为．
所以会选择B餐厅用餐． [13分]
注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为是首项为，公差为的等差数列，
所以 ．[ 2分]
因为 是首项为，公比为的等比数列，
所以．[ 4分]
所以．[ 5分]
因为 是等差数列，
所以，[ 6分]
即 ，解得 ．[ 7分]
经检验，时，，所以是等差数列．[ 8分]
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
所以．[10分]
当时，．[11分]
当时，．[13分]
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为为矩形，所以．[ 1分]
又因为，[ 2分]
所以平面．[ 3分]
所以．[ 4分]
（Ⅱ）因为为矩形，所以，[ 5分]
所以平面．[ 7分]
又因为平面平面，
所以．[ 8分]
（Ⅲ）平面与平面可以垂直．证明如下：[ 9分]
连接．因为，，
所以平面．[10分]
所以．
因为，所以．[11分]
因为平面平面，
若使平面平面，
则平面，所以．[12分]
在梯形中，因为，，，，
所以．
所以若使能成立，则为的中点．
所以．[14分]
19．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）函数的定义域是，且，且．[ 2分]
当时，曲线存在斜率为的切线．证明如下：[ 3分]
曲线存在斜率为的切线方程存在上的解．
令，整理得，
解得，或．
所以当时，曲线存在斜率为的切线．[ 5分]
注：本题答案不唯一，只要均符合要求．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ．
①当时，恒成立，
函数在区间和上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分]
②当时，令，整理得．
由，
所以，上述方程必有两个不相等的实数解，，不妨设．
由得．[ 8分]
，的变化情况如下表：
↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗
所以，存在极大值，极小值．[10分]
．
[11分]
因为，且，
所以，，
所以 ．
所以的极小值大于极大值．[13分]
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的离心率是，
所以 ， 即 ．[ 1分]
由 解得 [ 3分]
所以椭圆的方程为．[ 4分]
（Ⅱ）将代入，
消去整理得．[ 5分]
令，解得．
设．
则，．
所以
．[ 6分]
点到直线的距离为．
[ 7分]
所以的面积
，[ 8分]
当且仅当时，．
所以的面积的最大值是．[ 9分]
（Ⅲ）．证明如下：[10分]
设直线，的斜率分别是，，
则．[11分]
由（Ⅱ）得
，
所以直线，的倾斜角互补．[13分]
所以，
所以．
所以．[14分]
