nbsp; 本题主要考查建立适当的坐标系解决实际问题,圆的标准方程,数形结合的思想,数据处理能力和应用意识.能力层次要求为理解,属于中档题.这个题目的特点是紧密联系学生的生活,情境简单符合学生的认知水平,通过对复杂的实际事物适当简化,使得题目即有趣味又具有思想性(坐标法思想),这是解析几何的核心思想方法.
【例32】 对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-1) 0,则f(0)+f(2)与2f(1)的大小关系为_________________.
【分析】 研究函数值的大小关系,从单调性入手.依题意,当x1时,f (x)0,函数f(x)在(1,+)上是增函数;当x1时,f (x)0,f(x)在(-,1)上是减函数,故f(x)当x=1时取得最小值,即有f(0)f(1),f(2)f(1),故f(0)+f(2)2f(1).
【答案】 f(0)+f(2)2f(1).
【说明】 本题主要考查导数性质的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系),能力要求层次为掌握,属于较难题.
【例33】 若函数 的定义域为A,当 且 时,总有 ,则称 为单函数.例如,函数 =2x+1( )是单函数.给出下列命题:①函数 (x R)是单函数;②指数函数 (x R)是单函数;③若 为单函数, 且 ,则 ;④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中所有真命题的序号是___________.
【分析】 这是“多选多”型填空题,一般需要逐一分析判断.在判断中,应注意特例和反例的灵活运用.对于①,若 ,则 ,不满足;②是单函数;命题③实际上是单函数命题的逆否命题,故为真命题;根据定义,命题④为真.
【答案】 ②、③、④.
【说明】 本题以数学新概念为背景,从单函数概念出发,考查学生的阅读能力、理解能力、思维能力、推理能力和创新意识.能力要求层次为掌握,属于较难题.
3.解答题: 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
【例34】 某人有4把钥匙,其中有两把能够打开房门.现随机地取一把钥匙试着开门,不能打开的就扔掉,问第二次才能打开门的概率是多少?如果试过的钥匙不扔掉,这个概率又是多少?
【分析】 每把钥匙打开门的概率都是相同的,并且试验结果是有限的,故本题是古典型概率问题.
【答案】 , .
【说明】 本考查古典概型的识别及学生的实际应用意识,能力要求层次为理解,属于中档题.
【例35】 在等差数列 中, , .求:
(Ⅰ) 数列 的通项公式 ;
(Ⅱ) 求 的值.
【分析】 已知等差数列的两个等式,利用等差数列的基本关系建立方程即可得到等差数列的基本量,从而求得通项公式等.
【答案】 (Ⅰ) 方法一:设数列 的公差为d,
则 解得 =3, .
故数列 的通项公式 .
方法二:由 ,得 ,∴ .
又∵ ,∴公差 .由 ,∴ =3.
故数列 的通项公式 .
(Ⅱ) 方法一:由题知 、 、 、…、 是以 为首项,公差为4的等差数列,则 .
方法二:由题知 、 、 、…、 是以 为首项,公差为4的等差数列,则 .
【说明】 本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式及相关概念、性质,能力要求层次为理解,属于中档题.在解决本问题时,对已知条件的不同表示、对结论(如(Ⅱ)的求和)的不同表达,即产生对问题的不同解法.
【例36】 如图,在平行四边形 中, 是 边的中点,点 在对角线 上,且 .
(Ⅰ) 记 , ,试用向量 、 表示 ;
(Ⅱ) 证明: 三点共线.
【分析】 根据向量及其运算的几何意义,联系平面向量共线的表示求解.
【答案】 (Ⅰ) ∵ , ,
∴ .
(Ⅱ) 证明: .
∴ .故M、N、C三点共线.
【说明】 本题主要考查向量及其运算的几何意义、向量共线的表示,能力要求层次为理解,属于中档题.
【例37】 已知 ,且 , .
(I) 求 ;
(II) 求 .
【分析】 三角恒等变换,抓住相关的角、函数名和式子的结构(即角、名、形)关系入手.
【答案】 (I) 由 , ,知 ,
∴ . ∴ .
(或: )
(II) 由 可知, , , ,
∴ . 又 ,∴ .
∴
.
【说明】 本题主要考查三角恒等变换(和差角的正弦、余弦,倍角公式),能力要求层次为理解,属于中档题.
【例38】 已知函数 ( ).
(I) 证明: 是 上的增函数;
(II) 若 在 上的值域是 ,求 的值.
【分析】 证明函数的单调性,可以考虑运用定义或导数知识;对于连续函数,在单调性确定之后,函数在给定闭区间上的值域容易由已知区间的端点函数值表示.
【答案】 (I) 法一: 设 ,且 ,
则 ,
∴ .
∵ ,则 , ,
∴ , 是 上的增函数.
法二: 由已知,当x>0时, >0,
∴ 是 上的增函数.
(II) 由(I)知, 在 上单调递增,当 在 上的值域是 时,有 即 .
【说明】 本题主要考查函数的单调性证明及其应用,能力要求层次为掌握,属于中档题.函数的单调性是函数的重要性质,与不等式、最值(值域)等有密切联系.研究函数的单调性,定义是基础,导数是重要工具.
【例 39】 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x(单位:小时)与当于投篮命中率y之间的关系:
时间x 1 2 3 4 5
命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4
(Ⅰ) 求小李这 5天的平均投篮命中率为;
(Ⅱ) 用线性回归分析的方法,预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率.
【分析】 (Ⅰ)用平均数的定义可求解;(Ⅱ)先利用表格给出的数据求出线性回归方程,再以此为基础求第六天的命中率.
【答案】 0.5;0.53.
【说明】 本题主要考查平均数和线性回归方程等基本知识,数据统计中最常用的回归分析以及运算能力,能力要求层次为理解,属于较难题.
【例40】 锐角 中,角 的对边分别为 ,且 .
(Ⅰ) 求角B;
(Ⅱ) 若 ,且 ,求b.
【分析】 的结构,加上解题目标“求 中的角”的导向,考虑运用正弦定理.对于(Ⅱ),表示向量的数量积之后,根据已知条件选择关系解三角形即可.
【答案】 (Ⅰ) 由 及正弦定理,得
,
即 , , .
是锐角三角形, , .
(Ⅱ) ∵ ,∴ ,
∴ .又∵ ,∴ .
∴ .
【说明】 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,能力要求层次为掌握,属于较难题.
【例41】如图,在三棱锥 中, , 为 的中点, ⊥平面 ,垂足 落在线段 上.
(Ⅰ) 证明: ⊥ ;
(Ⅱ) 已知 , , , .求二面角 的大小.
【分析】 (Ⅰ)欲证 ⊥ ,转化为证明 平面APD,即证明AD⊥BC,PO⊥BC;(Ⅱ)欲求二面角 的大小,即求其二面角的平面角的大小,因此,需作出二面角的平面角∠BMC,再利用已知条件解三角形BMC,求得平面角∠BMC.
【答案】 (Ⅰ) 由AB=AC,D是BC的中点,得AD⊥BC.又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.因为PO∩AD=O,所以BC⊥平面PAD,故BC⊥PA.
(Ⅱ) 如图,在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM. 因为BC⊥PA.,得AP⊥平面BMC.所以AP⊥CM.故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角.
在Rt△ADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB= ,
在Rt△POD中, PD2=PO2+OD2,
在Rt△PDB中, PB2=PD2+BD2,
所以PB2=PO2+OD2+BD2=36,得PB=6.
在Rt△POA中, PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.
又
从而 所以 .同理CM .
因为BM2+MC2=BC2,所以 =90°,即二面角B-AP-C的大小为90°.
【说明】 本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,二面角等基础知识,同时考查化归与转化的思想,空间想象能力和推理论证能力,能力层次要求为掌握,属于较难题.
【例42】 若以点 ( )为圆心的圆与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,其中 为原点.
(Ⅰ) 求证: 的面积为定值;
(Ⅱ) 若直线 与 交于点 ,且 ,求 的方程.
【分析】 (Ⅰ)欲求三角形AOB的面积,需要求得两直角边OA,OB的长,通过求圆与坐标轴的交点解决问题;(Ⅱ)关键抓住OM=ON这一条件,得出点O在MN的中垂线上,同时圆心C必在弦MN的中垂线上,从而OC为MN的中垂线,根据两直线垂直斜率互为负倒数解决问题.
【答案】 (Ⅰ) 由题意知, 的半径 ( ),则 方程为
.
由
由
∴ (定值).
(Ⅱ) 由 知,线段MN的中垂线经过原点O,且经过圆心 .
∴ 的斜率等于 的斜率的负倒数,即 ,
即 .
∴ 的方程为 或 .
【说明】 本题主要考查圆的方程,三角形面积,定值问题,垂径定理,两直线垂直的性质,数形结合的思想和化归与转化的思想,抽象概括能力与运算求解能力,能力层次要求为掌握,属于较难题.
【例43】 已知点P在椭圆 上,且以点P及该椭圆的两个焦点F1,F2为顶点的三角形的面积等于1,求点P的坐标.
【分析】 由椭圆方程易得椭圆的两个焦点坐标,从而得出焦距 ,由点P的纵坐标的绝对值为 的一条高的长,可得 的面积的表达式,进而得出点P的纵坐标,由点P在椭圆上,求出点P的坐标.
【答案】 由椭圆方程 得两焦点坐标为 ,所以 . 设点P(x,y),则 ,所以 .
因为点P在椭圆 上,所以 ,解得 .
所以所求点P有四个,分别为
【说明】 本题主要考查椭圆的焦点坐标,焦距,点在曲线上,三角形面积求法,数形结合的思想,分类与整合的思想,化归与转化的思想,运算求解能力,应用意识,能力要求层次为掌握,属于较难题.
【例44】 已知 ,函数 .
(I) 是否存在实数a使 为奇函数;
(II) 探索方程f(x)=0的实根个数.
【分析】 对于(I),利用奇函数定义,根据f(-x)=-f(x)建立a的等式得结论;对于(II),可考虑运用零点存在性定理或者函数的图象解答.
【答案】 (I) 函数的定义域为R,设 ,则 .
令 = ,得 a=1.因此,存在实数a=1,使 为奇函数.
(II) 方程f(x)=0即 =0,
当a≤0时,f(x)<0恒成立,方程显然无解;
当a>0时,方程变形得 ,设 .此时,若a≥2,则g(x)>0恒成立,方程无解;若0<a<2,方程g(x)=0有且仅有一个实数根.
所以,当a≤0 或a≥2时,方程f(x)=0实根的个数为0;当0<a<2时,方程f(x)=0有且仅有一个实根.
【说明】 本题主要考查函数的性质、方程的根(函数零点)的个数的确定和分类讨论思想,能力要求层次为掌握,属于较难题.以上解答中,结论“当0<a<2时,方程g(x)=0有且仅有一个实数根”的获得,可以运用零点存在性定理,也可以运用函数的图象(对于函数的问题,利用函数的图象直观,数形结合进行思考,往往使问题的解决更加简洁.).
【例45】 现需要围建一个面积为 的矩形场地,场地的一面利用旧墙(但旧墙必须维修),其它三面全部新建,并在旧墙对面的新墙上留一个宽为 的进出口(如图所示). 已知旧墙的维修费用为 元/ ,新墙的建造价为 元/ .设利用旧墙的长度为 ( ),修建此矩形场地围墙的总费用为 (元).
(Ⅰ) 将 表示为 的函数,并写出定义域;
(Ⅱ) 试确定 ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出这个最小值.
【分析】 对于实际应用型的问题,应注意阅读审题、分析题意、建立关系,根据建立的关系(数学模型)的特征联系相应的数学方法解决问题.
【答案】 (Ⅰ) 当旧墙的长度为 时,矩形场地的宽度为 ,则新墙的总长度为 .
∴ 旧墙的维修费用 ,新墙的修建费用为 .
总费用 ,化简得
.
由于要在旧墙对面的新墙上要留一个宽为 的进出口,所以 .
故 , .
(Ⅱ) 由 及 ,知
,
其中,当且仅当 ,即 时,“=”成立.
∴ 当 时,总费用的最小值为 元.
【说明】 本题主要考查运用函数、不等式知识解决实际问题以及分析问题、解决问题的能力,能力要求层次为掌握,属于较难题.
【例46】 已知函数 ,曲线 在点 处的切线方程为 .
(I) 求a,b的值;
(II) 证明:当x>0,且 时, .
【分析】 曲线的切线问题,从导数的几何意义入手;涉及函数的不等关系,基本思路是考虑函数的单调性(导函数的函数值符号).
【答案】 (Ⅰ) 显然, .由于直线 的斜率为 ,且过点 ,故 即 解得 , .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 ,所以 .
考虑函数 ,则
.
所以当 时, ,即h(x)在(0,1)和(1,+∞)上是减函数,而 ,故
当 时, ,可得 ;
当 时, ,可得 ;
从而当
【说明】 本题主要考查导数的几何意义(与直线相切于曲线的联系)、导数的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系),推理与运算能力,能力要求层次为掌握,属于较难题.
六、样题及参考答案
四川省普通高中学业水平考试(样卷)
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页. 全卷满分100分,考试时间为90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3.考试结束时,将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+1=0互相平行,则A的值为
(A) (B) 3 (C) (D)
2.一元二次不等式 的解集是
(A) (2,3) (B) (-3,-2)
(C) (D)
3.设集合 ,集合 ,集合 ,则 等于
(A) (B) (C) (D)
4.将一枚质地均匀的硬币抛掷两次,出现“一次正面朝上、一次正面朝下”的概率是
(A) 0 (B) (C) (D) 1
5.设α∈{-1,1, ,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为
(A) 1 (B) 1,3 (C) -1, (D) -1,1,3
6.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计如表:
分数 5 4 3 2 1
人数 20 10 30 30 10
则这100人成绩的标准差为
(A) (B) 3 (C) (D)
7.已知 ,向量 与 垂直,则实数 的值是
(A) (B) (C) (D)
8.已知在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,那么这个三角形的最大角是
(A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 150°
9.若右图是一个棱锥的正视图、侧视图和俯视图,且图中三角形是直角边长均为1的直角三角形,四边形是边长为1的正方形,则此棱锥的体积等于
(A) 1 (B)
(C) (D)
10.阅读下面的程序框图,当输入变量 时,输出的结果是
(A) 3 (B) 8
(C) (D)
四川省普通高中学业水平考试(样卷)
数 学
第Ⅱ卷(非选择题 共60分)
题号 二 三 总分 总分人
15 16 17 18 19
得分
注意事项:
1.第Ⅱ卷共4页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,请将答案直接填在题中横线上.
11.计算: __________.
12.椭圆 的右焦点的坐标为_____________.
13.已知 展开式中第四项的系数为__________.
14.若函数 在 时有极值10,则 的值分别为__________.
三、解答题:本大题共5小题,共44分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题8分) 用定义证明:函数 在区间 上是增函数.
16.(本题8分) 如图,已知圆C与 轴和 轴都相切,圆心C的坐标为(2,2).
(Ⅰ) 写出圆C的标准方程,并化为一般方程;
(Ⅱ) 求与圆C相切,且在 轴和 轴上的截距相等的直线方程.
17.(本题8分) 如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,AD1与A1D相交于点O.
(Ⅰ) 判断AD1与平面A1B1CD的位置关系,并证明;
(Ⅱ) 求直线AB1与平面A1B1CD所成的角.
18.(本题10分) 已知函数 ,
(Ⅰ) 把 的表达式化简为 的形式;
(Ⅱ) 指出 在区间 上的单调区间、最大值及相应的x的值.
19.(本题10分) 已知等差数列 的公差d不为0,设 ,
.
(Ⅰ) 若q=1,a1=1,S3=15,求数列 的通项公式;
(Ⅱ) 若a1=d,且S1,S2,S3成等比数列,求q的值;
(Ⅲ) 若 ,证明: ( ).
四川省普通高中学业水平考试(样卷)数学试题
参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 (B) (D) (B) (C) (B) (D) (A) (C) (C) (A)
二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分)
11.1;12.(2,0);13.280;14. .
三、解答题(本大题共5个小题,共44分)
15.(本题8分)
设 , 2分
则 , 4分
即 , 6分
∴ 函数 在区间 上是增函数. 8分
16.(本题8分)
(Ⅰ) 由已知,圆心C的坐标为(2,2), 1分
又 圆C与 轴和 轴都相切,可得圆C的半径 . 2分
所以,圆C的标准方程是 . 3分
圆的一般方程为 . 4分
(Ⅱ) 由已知,直线在 轴和 轴上的截距相等,可设直线方程为 .
又该直线与圆C相切,所以 ,解得 . 6分
故所求直线方程为: 或 . 8分
17.(本题8分)
(Ⅰ) . 2分
∵ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, ,
∴ . 4分
(Ⅱ)连结 .∵ 于点O,
∴ 直线 是直线 在平面 上的射影.
∴ 为直线 与平面 所成的角. 6分
∵ ,∴ ,
∴ °. 8分
18.(本题8分)
(Ⅰ) =
= =sin2x 2分
∴ =2sin(2x ). 3分
(Ⅱ) 设 ,则u=2x .
根据正弦函数的单调性可知,函数g(x)=2sinu在u 时递增,在u 时递减;且当u= 时,g(x)min= ;当u= 时,g(x)max=2. 6分
所以,当 时, 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ; 的最小值为f(x)min= ,相应的x=0; 的最大值为f(x)max=2,相应的x= .
8分
19.(本题10分)
(Ⅰ) 由题设, = ,
将q=1,a1=1,S3=15代入,解得d=4,
所以数列 的通项公式为: . 3分
(Ⅱ) 由已知,a1=d,且S1,S2,S3成等比数列,所以S22= S1S3,即
,
注意到d≠0,q≠0,解得q=-2. 6分
(Ⅲ) 由题设,有 bn= ,则
①
②
①-②得, 8分
①+②得, ③
③式两边同乘以 q,得
所以, =
= -
=2d( = . 10分