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江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考
数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集 ，集合 ，集合 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 （ 的虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．我国古代数学家算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）
A． 人 B． 人 C． 人 D． 人
4．已知 向量 与 垂直，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．设 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．在等比数列中 中， 是方程 的根，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．运行如图所示的程序框图，如果在区间 内任意输入一个 的值，则输入的 值不小于常数 的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 的图像向左平移 个单位后关于 轴对称，则函数 的一个单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
10．函数 的图像可能是（ ）
A．（1）（3） B．（1）（2）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
11．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，过椭圆上任意一点 作切线 ，记 到 的距离分别为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 与 的图像上存在关于 的对称点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数 的定义域为 ．
14.已知 ，则 ．
15.若变量 满足 ，目标函数 取得最大值的是 ，则 的最小值为 ．
16.数列 满足 ，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求角 的值．
18．治理大气污染刻不容缓，根据我国分布的《环境空气质量数（AQI）技术规定》：空气质量指数划分阶为0~50、51~100、101~150、151~200、201~300和大于300六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于 时，可以户外运动；空气质量指数 及以上，不适合进行旅游等户外活动，以下是某市 年 月中旬的空气质量指数情况：
时间 11日 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日 20日
AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 269
（1）求 月中旬市民不适合进行户外活动的概率；
（2）一外地游客在 月中旬来该市旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率．
19．如图几何体中，四边形 为矩形， ， ， ， ， 为 的中点， 为线段 上的一点，且 ．
（1）证明：面 面 ；
（2）求三棱锥 的体积 ．
20．已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上且过点 ，离心率是 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线 过点 且与椭圆 交于 两点，若 ，求直线 的方程．
21．已知函数 的导函数为 ，且对任意 ，都有 ．
（1）判断函数 在 上的单调性；
（2）设 ，证明： ；
（3）请将（2）中的结论推广为一般形式，并证明你所推广的结论．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，直线 ，曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求 的极坐标方程和 的普通方程；
（2）把 绕坐标原点沿顺时针方向旋转 得到直线 ， 与 交于 两点，求 ．
23.选修4-5：不等式选讲
在平面直角坐标系中，定义点 、 之间的直角距离为 ，点 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的最小值．
江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: CBBAD 6-10: CABBC 11、12：AD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17．解：(1)证明：∵ ，
∴ ,
即 ,
由正弦定理，得 ，
∴ .
又∵ ，∴ .
∴ ，即 .
(2)解：∵ ， ，
∴ .
∴ .
∴ ，
即 ,
∴ .
由 (1)，得 ，
解得 或 .
∵ ，∴ .∴ .
18．解：（1）该实验的基本事件空间 ，基本事件总数 ．
设事件 “市民不适合进行室外活动日期”，则 ，包含基本事件数 ．
所以 ，即市民不适合进行户外活动的概率为 ．
（2）该实验的基本事件空间
，
基本事件 ，
设事件 “适合旅游的日期”，则
包含基本事件数 ，
所以 ，即：适合连续游玩两天的概率为 ．
19.(1）证明：连接 [:] ∵ ， 为 的中点
∴ .
∵ ，∴ ，
∵ ， 为矩形
∴ ，又∵ ，∴ 为平行四边形
∴ ，∴ 为正三角形 ∴ ，
∵ ，∴ 面 .
∵ 面 ，
∴面 面 .
(2） ，
因为 ， ，
所以 .
所以 .
20．解：(1)设椭圆 的标准方程为 ．
由已知可得 ，
解得 .
故椭圆 的标准方程为 .
(2)由已知，若直线 的斜率不存在，则过点 的直线 的方程为 ，
此时令 ，显然 不成立．
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 ．
则 ，整理得 .
由 .
设 ．故 ，① .②
因为 ，即 .③
①②③联立解得 .
所以直线 的方程为 或 .
21.解：（1） ，
由条件对任意 ，都有 ，得 ，
所以 在 上单调递增.
(2)∵ ，由（1）知
①②两式相加得 .
(3)（2）中的结论推广为一般形式为： .
有 .
证明如下：∵ ，
由（1）知
即 ，
∴ .
同理可得
...
以上 个不等式相加，得 .
请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22． 解：（1）直线 ： ，
曲线 的普通方程为 ．
（2） ： ，即 ．
圆 的圆心到直线 的距离 ．
所以 ．
23．解：（1）由定义得 ，即 ，
两边平方得 ，解得 ；
（2）当 时，不等式 恒成立，也就是 恒成立，
函数令 ，所以 ，
要使原不等式恒成立只要 即可，故 .
