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江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．下列命题中真命题的个数是（ ）
①若 是假命题，则 都是假命题；
②命题“ ”的否定是“ ”；
③若 ，则 是 的充分不必要条件．
④设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
A． B． C． D．
4．一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，如下框图中若输入的 、 分别为 、 ，则输出的 为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为 的正方形 中， 是 的中点，过 三点的抛物线与 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的图象如图所示，为了得到 的图象，则只将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
8．如果实数 满足关系 ，又 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．将 这 名同学从左至右排成一排，则 与 相邻且 与 之间恰好有一名同学的排法有（ ）
A． B． C． D．
10．若非零向量 的夹角为锐角 ，且 ，则称 被 “同余”．已知 被 “同余”，则 在 上的投影是（ ）
A． B． C． D．
11．已知 为坐标原点， 是双曲线 的左焦点， 分别为左、右顶点，过点 做 轴的垂线交双曲线于点 ，连结 交 轴于点 ，连接 于点 ，若 是线段 的中点，则双曲线 的离心率（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，若函数 在区间 上恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数 则 ．
14．在多项式 的展开式中， 项的系数为 ．
15．已知 中， ， ， ，若点 是边 上的动点，且 到 ， 距离分别为 ，则 的最小值为 ．
16．已知数列 中，设 ，若 ， 是 的前 项和，若不等式 对一切的 恒成立，则实数 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ．
（1）求 的大小；
（2）求 的取值范围．
18．通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间 分钟到 钟的 人进行统计，按照租车时间 ， ， ， ， 分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图中仅列出了时间在 ， 的数据）．
（1）求 的频率分布直方图中的 ；
（2）从租用时间在 分钟以上（含 分钟）的人数中随机抽取 人，设随机变量 表示所抽取的 人租用时间在 内的人数，求随机变量 的分布列及数学期望．
19．如图，在正四面体ABCD中， 是 的中心， 分别是 上的动点，且 ．
（1）若 平面 ，求实数 的值；
（2）若 ，正四面体ABCD的棱长为 ，求平面 和平面 所成的角余弦值．
20．已知椭圆 右顶点 ，离心率 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆上顶点， 是椭圆 在第一象限上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，问 与 面积之差是否为定值？说明理由．
21．设常数 ．
（1）若 在 处取得极小值为 ，求 和 的值；
（2）对于任意给定的正实数 、 ，证明：存在实数 ，当 时， ．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平角直角坐标系 中，以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），
射线 与曲线 交于 三点（异于 点）．
（1）求证： ；
（2）当 时，直线 经过 两点，求 与 的值
23．选修4-5：不等式选讲
若关于 的不等式 的解集为 ．
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的最大值．
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数学（理科）试卷答案
一、选择题
1-5:CBCBD 6-10: DAABA 11、12：CC
12.答案：C 解析 因为函数 的零点为方程
的根，易知 ，所以
，故 .令 ，则
，问题转化为 在 上有两个不同的实解，即
在 上有两个不同的实解.令 ，
则 ， ，结合图像可知 .
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17．(1)由 ,根据余弦定理得 .
又 为锐角三角形 的内角，得 .
(2)由（1）知
，
由 为锐角三角形且 知 ， 故 .
∴ ，∴ ，∴ ，
故 的取值范围为 .
18.解：(1)由题意可知，样本容量
,
.
(2)由题意可知，租用时间在 内的人数为5，租用时间在 内的人数为 ，共 人.抽取的 人中租用时间在 内的人数 的可能取值为 ，则
， ， .
故 .
19.解：（1）取 的中点 ，连接 ,
∵ 是正 的中心 ∴点 在 上，且 ，
∵当 时， 平面 ,
∴ ∴ ,即 ,
∴ .
（2）当 时，点 分别是 的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系 ，依题设
，则 , ,
则 ,
设平面 的法向量为 则 ,
∴ ,
不妨令 ，则 ，
又平面 的一个法向量为 .
设所求二面角为 ，则 .
20. 解：⑴依题意得 解得 ，则椭圆 的方程为 .
⑵设 ，则 ，
，令 得 ，则 ,
，令 得 ，则 ,
∴
.
21.
，
∵ ，∴ .
将 代入得
当 时, , 递减；
时, , 递增；
故当 时, 取极小值 ,
令 ,解得 .
(Ⅱ)因为 ,
记 ,故只需证明:存在实数 ,当 时, ,
[方法1] ,
设 ,则 .
易知当 时, ,故 .
又由 解得: ,即
取 ,则当 时, 恒有 .
即当 时, 恒有 成立.
[方法2] 由 ,得: ,
故 是区间 上的增函数.令 ,
则 ,因为 ,
故有 ,
令 ,解得: ,
设 是满足上述条件的最小正整数,取 ,则当 时, 恒有 ,
即 成立.
22.（Ⅰ）由已知： ,
∴ .
（Ⅱ）当 时，点 的极角分别为 ，
代入曲线 的方程得点 的极径分别为： ,
∴点 的直角坐标为： ，则直线 的斜率为 ，
方程为 ，与x轴交与点 ；
由 ，知 为其倾斜角，直线过点 ，
∴ .
23. (1) 依题意知 和 是方程 的两个根，则
，∴ ，∴ .
（2）
当且仅当 ，即 时等号成立.
