点击下载：江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考数学（文）
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三数学试卷（文科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知点，，向量，若，则实数等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知定义在区间上的函数满足，在上随机取一个实数，则使得的值不小于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.如图所示的程序框图，若输入，，，的值分别为1，，9，3，则输出的值为（ ）
A. B. C.7 D.19
6.设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.在中，，，，则边上的高等于（ ）
A. B. C. D.3
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A. B.
C.10 D.12
10.函数的图象大致是（ ）
11.设函数，若方程恰好有三个根，分别为，，（），则的值为（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知函数，则 .
14.设为锐角，若，则 ．
15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余税金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 ．
16.点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.等差数列的前项和为，已知，为整数，且的最大值为.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上.
（1）求证：平面平面；
（2）若点为的中点，求三棱锥的体积.
19.近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：
组号 分组 频数 频率
第1组
第2组 ①
第3组 20 ②
第4组 20
第5组 10
合计 100
（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图（用阴影表示）；
（2）为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试；
（3）在（2）的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受考官进行面试，求：第4组至少有一名选手被考官面试的概率.
20.已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于点，是线段的中点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线，关于轴对称，且交曲线于、两点，交曲线于、两点，、在第一象限，若四边形的面积等于，求直线，的方程.
21.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点.
（1）求，两点的极坐标；
（2）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度.
23.设对于任意实数，不等式恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值时，解关于的不等式：.
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三数学试卷参考答案（文科）
一、选择题
1.D ∵，∴.
2.A ∵，∴，∴.
3.B ，因为，所以，解得.
4.C 由，得，，故，由得，因此所求概率为.
5.D 程序执行过程为：，；，；，；，∴终止程序，∴输出的.
6.A 因为，，
所以的周长为，
显然，当最小时，有最大值，
而，所以，，解得，，从而.
7.D 不等式组表示的可行域为三角形，如图所示：目标函数所在直线将其可行域平行，
因为，所以，设，则，得，所以.
8.A 设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，
因为，，所以，
化简得，解得.
又，由，得.
9.B 如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即为所求，且，，可求得表面积为.
10.C 当时，，由复合函数的单调性知在上单调递增，所以排除A、B选项；当时，，，所以函数在上递减，在上递增，从而，所以选C..
11.C 画出该函数的图象如图，当时方程恰好有三个根，且点和关于直线对称，点和关于直线对称，所以，，从而.
12.A ，∵，∴，.
当时，在上恒成立，即函数在上单调递减，函数在区间上无极值；当时，设，则，在上为减函数，
∵，，∴，得.
二、填空题
13. .
14. 因为为锐角，若，所以，因此.
15. 第1关收税金：；
第2关收税金：；
第3关收税金：；
……
第8关收税金：.
16. 因为，所以.
又，所以，，
又，
所以.
三、解答题
17.解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数.
又，故，，
解得，
因此
数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，①
，②
②式减①式得，，
整理得，
因此.
18.解：（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出，，
在中，，∴，
∵点在平面上的投影落在上，
∴平面，平面平面，∴，
又，，∴平面，
而平面∴平面平面.
（2）解：因为，所以，
又，所以，
因为，所以，解得，
因为为中点，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
所以,
因为，所以.
19.解：（1）第1组的频数为人，所以①处应填的数为人，从而第2组的频率为，因此②处应填的数为，
频率分布直方图如图所示，
（2）因为第3、4、5组共有50名选手，所以利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：人，第4组：人，第5组：人，所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人进入第二轮面试.
（3）设第3组的2位选手为，，第4组的2位选手为，，第5组的1位选手为，则从这五位选手中抽取两位选手有，，，，，，，，，，共10种.
其中第4组的2位选手，中至少有一位选手入选的有：，，，，，，，共有7种，所以第4组至少有一名选手被考官面试的概率为.
20.解：（1）设，，，
，，∵，∴，即，
又，∴，代入，得.
（2）由（1）知，设直线，则，
得，，，
依题意可知，四边形是等腰梯形，
∴，
由，
即，∴，∴，∴.
∴直线，的方程分别为，.
21.解：（1）因为，，，
所以切线方程为，即.
（2）令，
所以.
当时，因为，所以，所以是上的递增函数，
又因为，所以关于的不等式不能恒成立，
当时，，
令，得，所以当时，；当时，.
因此函数在上是增函数，在上是减函数，故函数的最大值为，
令，
则在上是减函数，
因为，，
所以当时，，所以整数的最小值为2.
22.解：（1）由得，
所以，即.
所以、两点的极坐标为：，或同样得分.
（2）由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，
将直线代入，
整理得，即，，
所以.
23.解：（1）∵，
又恒成立，
∴.
（2）当取最大值时，
原不等式等价于：，
等价于：或，
等价于：或.
