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孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）数学（文）
孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数与的虚部相等，则复数对应的点在（ ）．
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
2.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值是（ ）．
A． -1 B． 1 C． D．
3.现有3张卡片，正面分别标有数字1，2，3，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽一张，抽取后不放回，甲先抽，若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）．
A． B． C． D．
4.过点且倾斜角为45°的直线被圆所截的弦长是（ ）．
A． B． C． D．
5.已知函数，则的值域是（ ）．
A． B． C． D．
6.定义：，如，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
7.已知某几何体是由两个四棱锥组合而成，若该几何体的正视图、俯视图和侧视图均为如图所示的图形，其中四边形是边长为的正方形有，则该几何体的表面积是（ ）．
A． B． C． D．
8.如果满足，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9.若，且，则的最大值是（ ）．
A．1 B． C． D．3
10.现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品.如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是（ ）．
A．14，19 B．14，20 C．15，19 D．15，20
11.已知是半径为的球面上的两点，过作互相垂直的两个平面，若截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是（ ）．
A． B．2 C． D．4
12.在中，角所对的边分别为，且，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知集合，集合，则____________．
14.已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ____________．
15. 抛物线的焦点为是的准线上位于轴上方的一点，直线与在第一象限交于点，在第四象限交于点，且，则点到轴的距离为____________．
16.已知函数的图象关于点对称，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是 ____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.数列满足，且.
（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；
（2）若各项均为正数的等比数列满足，求数列的前项和.
18.某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：
印刷册数（千册） 2 3 4 5 8
单册成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7
根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.
①完成下表（计算结果精确到0.1）；
印刷册数（千册） 2 3 4 5 8
单册成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7
模型甲 估计值 2.4 2.1 1.6
残差 0 -0.1 0.1
模型乙 估计值 2.3 2 1.9
残差 0.1 0 0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）
19.如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若四棱锥的体积为，求四面体的体积．
20. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若直线与曲线的交点的横坐标为，且，求整数所有可能的值.
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线（其中为参数，为倾斜角）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程，并求的焦点的直角坐标；
（2）已知点，若直线与相交于两点，且，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，试证：.
参考答案
一、A卷选择题
1－5 BCCCB 6－10 ABADA 11－12 DB
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1），猜想；
（2）由题意可知，故的公比满足，
又因为各项均为正数，故，
于是 ①，
而 ②，
①-②，得，故．
18.解：（1）①经计算，可得下表：
印刷册数（千册） 2 3 4 5 8
单册成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7
模型甲 估计值 3.1 2.4 2.1 1.9 1.6
残差 0.1 0 -0.1 0 0.1
模型乙 估计值 3.2 2.3 2 1.9 1.7
残差 0 0.1 0 0 0
②，故模型乙的拟合效果更好；
（2）由（1）可知，二次印刷10千册时，单册书印刷成本为（元）
故印刷厂获利为（元）．
19.（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，则四边形为平行四边形，所以，
又平面，
∴平面，
∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，
又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.
（2）解：设四棱锥的高为，四边形的面积为，
则，
又，四面体底面上的高为．
∴，
所以四面体的体积为．
20.解：（1）由已知得，
解得，∴椭圆的方程为；
（2）把代入的方程得：
，
设，则，①
由已知得，
∴，②
把①代入②得，
即，③
又，
由，得或，
由直线与圆相切，则 ④
③④联立得（舍去）或，∴，
∴直线的方程为．
21.（1）解：，∴，
①若时，在上恒成立，所以函数在上单调递增；
②若时，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减；
③若时，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增．
综上，若时，在上单调递增；
若时，函数在内单调递减，在区间内单调递增；
当时，函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，
（2）由题可知，原命题等价于方程在上有解，
由于，所以不是方程的解，
所以原方程等价于，令，
因为对于恒成立，
所以在和内单调递增．
又，
所以直线与曲线的交点有两个，
且两交点的横坐标分别在区间和内，
所以整数的所有值为-3，1．
22.解：（1）原方程变形为，
∵，
∴的直角坐标方程为，其焦点为.
（2）把的方程代入得，
则，①
，
即，
平方得，②
把①代入②得，∴，
∵是直线的倾斜角，∴，
∴的普通方程为，且，
∴的面积为.
23.（1）解：不等式可以转化为
或或，
解得，
即不等式的解集.
（2）证明：因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
即，得证.
