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泉州市2017届高三高考考前适应性模拟卷（三）数学理
（在此卷上答题无效）
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泉州市2017届高中毕业班高考考前适应性模拟卷（三）
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合，，则等于
（A） （B） （C） （D）
（2）已知复数（）的实部为，则
（A） （B） （C） （D）
（3）已知数列为等比数列，，，则的值为
（A） （B） （C） （D）
（4）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
（A） （B） （C） （D）
（5）已知分别为的三个内角的对边，若，，则
（A） （B） （C） （D）
（6）如图，长方形中，为坐标原点，点在轴上，，曲线（）经过点，现将一质点随机投入长方形中，若质点落在图中阴影区域的概率是
（A） （B） （C） （D）
（7）某组合体的三视图如图所示，图中网格每个小正方形的边长为，曲线均为圆弧的一部分，则该几何体的体积为
（A） （B） （C） （D）
（8）海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
（A）至 （B）至 （C）至 （D）至
（9）已知为抛物线（）上的一点，为抛物线的焦点，直线过点且与轴平行，若同时与直线，直线，轴相切且位于直线左侧的圆与轴切于点，则点
（A）位于原点左侧 （B）与原点重合
（C）位于原点右侧 （D）以上均有可能
（10）执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A） （B）
（C） （D）
（11）各项均为正数的等差数列中，前项和为，当时，有，则
（A） （B） （C） （D）
（12）如图，三角形中，，，以为直角顶点向外作等腰直角三角形，当变化时，线段的长度最大值为
（A） （B） （C） （D）
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每道试题考生都必须作答。第（22）题～第（23）题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
（13）展开式的常数项是__________．
（14）设不等式组所表示的平面区域为，若函数的图象经过区域，则实数的取值范围是__________．
（15）已知点为棱长等于的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角大小为__________．
（16）恒成立，则实数的取值范围为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知函数（），是偶函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间的最大值．
（18）（本小题满分12分）
为提高市场销售业绩，某公司设计两套产品促销方案（方案1运作费用为元/件；方案2的的运作费用为元/件），并在某地区部分营销网点进行试点（每个试点网点只采用一种促销方案），运作一年后，对比该地区上一年度的销售情况，分别统计相应营销网点个数，制作相应的列联表如下表所示．
无促销活动 采用促销方案1 采用促销方案2
本年度平均销售额不高于上一年度平均销售额 48 11 31 90
本年度平均销售额高于上一年度平均销售额 52 69 29 150
100 80 60
（Ⅰ）请根据列联表提供的信息，为该公司今年选择一套较为有利的促销方案（不必说明理由）；
（Ⅱ）已知该公司产品的成本为10元/件（未包括促销活动运作费用），为制定本年度该地区的产品销售价格，统计上一年度的组售价（单位：元/件，整数）和销量（单位：件）（）如下表所示：
售价
销量
（ⅰ）请根据下列数据计算相应的相关指数，并根据计算结果，选择合适的回归模型进行拟合；
（ⅱ）根据所选回归模型，分析售价定为多少时？利润可以达到最大．
参考公式：相关指数．
（19）（本小题满分12分）
四棱锥，侧面为边长为的正三角形，底面为对角线互相垂直的等腰梯形，为的中点，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若的面积为，求三棱锥的体积．
（20）（本小题满分12分）
直角坐标系中，曲线与轴负半轴交于点，直线与相切于，为上任意一点，为在上的射影，为的中点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）轨迹与轴交于，点为曲线上的点，且，，试探究三角形的面积是否为定值，若为定值，求出该值；若非定值，求其取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知函数（）．
（Ⅰ）若方程有两根，求的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，设，求证：随着的减小而增大；
（Ⅲ）若不等式恒成立，求证：（）．
请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题号后的方框涂黑。
（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x轴的正半轴重合．圆C的参数方程为（为参数，），直线，若直线与曲线C相交于A，B两点，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若M，N为曲线C上的两点，且，求的最小值．
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲
设为正实数，且．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若，求的值．
泉州市2016届高中毕业班高考考前适应性模拟卷（三）
理科数学参考答案与评分细则
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C A D C B C B D A C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14． 15． 16．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数（），是偶函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在区间的最大值．
（17）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）依题意，……………2分
．……………3分
因为是偶函数，所以．……………5分
又因为，所以．……………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，．……………8分
．……………10分
时，，
故函数在区间的最大值为．……………12分
（18）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由列联表信息可知，年度平均销售额与方案的运作相关性强于方案．……………3分
（Ⅱ）（ⅰ）由已知数据可知，回归模型对应的相关指数；
回归模型对应的相关指数；
回归模型对应的相关指数．……………5分
因为，所以采用回归模型进行拟合最为合适．……………7分
（ⅱ）由（Ⅰ）可知，采用方案的运作效果较方案好，
故年利润， ，．……………9分
当时，单调递增；
当时，单调递减．……………11分
故当售价时，利润达到最大．……………12分
（19）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）在中，
,
,……………2分
取中点，连结，……………3分
则.平面，而平面，
．……………5分
（Ⅱ）在平面内作，垂足为，连结，
因为，平面平面，所以平面，又平面,
所以，又，
所以，所以为等腰直角三角形．……………6分
设，则，
中，由得，解得．……………8分
，故，……………10分
设三棱锥的高为，因为，
故的面积为，
故，所以．……………12分
（20）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）依题意，可知，直线．……………1分
设，依题意，可知，．……………2分
因为为上动点，所以，
可得动点的轨迹的方程．……………4分
（Ⅱ）依题意，不妨记，，设的斜率为，因为，所以的斜率也为；同理，设的斜率为，因为，所以的斜率也为．……………5分
设，由 得，则①；
同理，由 得，则②．
联立①②，消去可得，不妨设，．……………8分
由 可得，则．……………9分
由 可得．
则到的距离．……………10分
则三角形的面积
．……………12分
（21）（本小题满分12分）
解析：（Ⅰ）由，有，
设，由，……………1分
在上单调递增，在上单调递减，又，．当时，；当时，．……………2分
故若方程有两根，则．……………3分
（Ⅱ）故若方程有两根，则，．
假设对于任意的．记，由上可知；记，由上可知．……………………5分
因为在上单调递增，在上单调递减，故由可知，．
又因为，，所以，故随着的减小而增大．……………………8分
（Ⅲ）依题意，恒成立，记，则．
①当时，在恒成立，故在单调递减，又因为，所以在上函数值小于零，不符合题意，舍去．……………9分
②当时，得．
小于0 大于0
单调递减 单调递增
由上表可知在上的．……………10分
记，由可知，在单调递增，在单调递减，故，综上，即．……………11分
由可得（），两边乘以可得，即．
则．
…………12分
（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解析：（I）由，得
圆C的普通方程为．即圆心为，半径．……………2分
，
把代入，得直线的普通方程为．……………4分
圆心到直线的距离，，即，
得，，．……………5分
（Ⅱ）由（I）得，圆C的普通方程为．
把代入，得，
化简，得圆C的极坐标方程为．……………7分
依题意，设，
的最小值为．……………10分
（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式证明选讲
解析：（Ⅰ）由得，当时取等号．……………2分
故，当时取等号．……………4分
所以的最小值是，当且仅当取得最小值．……………5分
（Ⅱ）由得．……………7分
即，从而．……………9分
又，当时取等号．……………10分
