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2017届湖北省普通高等学校招生全国统一考试预测密卷（一）数学理
2017高考理数预测密卷一
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分
考试时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是虚数单位，复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等比数列的公比，则其前2017项和（ ）
A． B． C． D．
4．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输出的，则输入的可能是（ ）
A.15,18 B.14,18 C.12,18 D.9,18
5.若实数满足不等式组，则的最小值为（ ）
A．2 B．5 C．26 D．37
6.在中,分别为所对的边,若函数有极值点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D. -1
7．某学校需要把6名实习老师安排到，，三个班级去听课，每个班级安排名老师，已知甲不能安排到班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ）
A． B． C． D．
8．如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线分别交于点，若为等边三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的图象的大致形状是（ ）
10．在三棱锥中，△ABC与△BCD都是正三角形，平面ABC⊥平面BCD，若该三棱锥的外接球的体积为，则△ABC边长为（ ）
A. B. C. D.6
11．如图所示，，，是半径为2 的圆上不同的三点，线段的延长线与线段交于圆外的一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12. 已知实数满足,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（13-21为必做题，22-23为选做题）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）
13. 已知的展开式中，的系数为，则=__________.
14.已知某几何体的三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体中最长的棱长是_____________.
15．如图，在中，角所对的边分别为，且，是的中点，且，则的最短边的边长为___________.
16. 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，，过点B作轴的垂线，点是直线的一点，连接交椭圆于点，坐标原点是，则与所成角为______.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知数列满足.
（1）求；
（2）是否存在实数，使数列为等差数列，若存在，求出请求出的值，若不存在，说明理由.
18.（本小题满分12分）
2017年两会继续关注了乡村教师的问题，随着城乡发展失衡，乡村教师待遇得不到保障，流失现象严重，教师短缺会严重影响乡村孩子的教育问题，为此，某市今年要为两所乡村中学招聘储备未来三年的教师，现在每招聘一名教师需要2万元，若三年后教师严重短缺时再招聘，由于各种因素，则每招聘一名教师需要5万元，已知现在该乡村中学无多余教师，为决策应招聘多少乡村教师搜集并整理了该市100所乡村中学在过去三年内的教师流失数，得到下面的柱状图：
流失的教师数
以这100所乡村中学流失教师数的频率代替1所乡村中学流失教师数发生的概率，记表示两所乡村中学在过去三年共流失的教师数，表示今年为两所乡村中学招聘的教师数.为保障乡村孩子教育部受影响，若未来三年内教师有短缺，则第四年马上招聘.
（Ⅰ）求的分布列；
（Ⅱ）若要求，确定的最小值；
（Ⅲ）以未来四年内招聘教师所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
19. （本小题满分12分）
如图，已知与分别是棱长为1与2的正三角形，//，四边形为直角梯形，//，，点为的重心，为中点，平面，为线段上靠近点的三等分点.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，试求异面直线与所成角的余弦值.
20. （本小题满分12分）
已知点是抛物线:的准线与对称轴的交点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点满足，当取最小值时，点横坐标为1.
（I）求抛物线的方程；
（II）直线交轴于点，交抛物线于不同的两点，点关于轴的对称点为，点关于轴的对称点为，求证：三点共线.
21.（本小题满分12分）
已知函数且
（1）若，求函数的单调区间；
（2）当时，设，若有两个相异零点，，求证：．
选做题：请考生在22~23两题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为，定点，点是曲线上的动点，为的中点.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2） 已知直线与轴的交点为，与曲线的交点为，，若的中点为，求的长．
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若方程有三个实数根，求实数的取值范围.
2017高考理数预测密卷一
参考答案
一、选择题.
1.【答案】A
【解析】因为 ，所以，故选A.
考点：1、一元二次不等式的解法；2、集合的交集.
2．【答案】A
【解析】因为，所以共轭复数为，选A.
考点：共轭复数概念，的周期性，复数运算.
3．【答案】A
【解析】根据题意可得，.
考点：等比数列通项及求和.
4．【答案】B
【解析】执行程序，可知a=14，b=18时，b=18-14=4，
由a＞b，则a变为14-4=10，
由a＞b，则a变为10-4=6，
由a＞b，则a变为6-4=2，
由a＜b，则b变为4-2=2，
由a=b=2，
则输出的a=2
考点：程序框图
5.【答案】B
【解析】作出可行域，如图所示，
设变形成可知过点时纵截距最小，此时，，.
考点：简单的线性规划.
6.【答案】D
【解析】由已知可得有两个不等实根
.
考点：函数的极值, 余弦定理,三角函数最值.
7．【答案】C
【解析】先考虑甲不能到班的方案：,减去其中乙和丙安排到同一班级的方案，即种，选C.
考点：排列组合
8.【答案】C
【解析】由已知，，又为等边三角形，所以 ，所以.在中，，，，，由余弦定理得，解得 ，所以 ，双曲线的方程为，故选C.
考点：双曲线的定义和标准方程.
9．【答案】B
【解析】由已知可得是奇函数排除A、C；又排除D,故选B.
考点：函数的图象.
10.【答案】D
【解析】取BC的中点为M，E、F分别是正三角形ABC和正三角形BCD的中心，O是该三棱锥外接球的球心，连接AM、DM、OF、OE、OM、OB，则E、F分别在AM、DM上，OF⊥平面BCD，OE⊥平面ABC，OM⊥BC，AM⊥BC，DM⊥BC，所以∠AMD为二面角A—BC—D的平面角，因为平面ABC⊥平面BCD，所以AM⊥DM，又AM=DM=，所以==，所以四边形OEMF为正方形，所以OM=，在直角三角形OMB中，球半径OB==，所以外接球的体积为，故选D.
考点：三棱锥的外接球问题.
11．【答案】D
【解析】因为,,所以，展开得，所以,当时，即,所以.当趋近于射线时，由平行四边形法则可知,此时且，所以，因此的取值范围是，故选D.
考点：平面向量的数量积.
12.【答案】C
【解析】用代换，用代换，则满足,以代换，可得点，满足，所以求的最小值即为求圆上的点到曲线上的点的距离的最小值.由圆的对称性知,只需考虑圆心到曲线上的点距离的最小值.设曲线上任一点,即经过的切线斜率为,由切线垂直于直线,所以即：.不妨设，则为增函数,又,即当时线段长度最小,为,故选C.
考点：1.求切线方程；2.函数的单调性；3.两点间距离公式.
二、填空题.
13.【答案】.
【解析】
由二项式的展开式为，令，可得，令，解得．
则
考点：二项式定理的应用,定积分计算.
14.【答案】8.
【解析】由题设三视图中所提供的信息可知该几何体的直观图如图所示：
,.
故最长的棱长为8.
考点：三视图.
15．【答案】.
【解析】，
∴，即.
由得，
，∴，
则，得
∴，则，
且，
∴，∴.
解得，∴.
∴的最短边的边长.
考点：1、解三角形；2、三角恒等变换.
16.【答案】.
【解析】设，则直线的方程为，
由，整理得，
解得，，则点的坐标是，故直线的斜率，由于直线的斜率，故，∴.
考点：直线与椭圆的位置关系.
三、解答题.
17. 【答案】（1）；（2）存在实数，使数列为等差数列.
【解析】（1）∵
∴
从而 ，即：
可得 ，，.
（2）若为等差数列，则，
，.
当时，.
即：,数列为等差数列.
∴存在实数，使数列为等差数列.
考点：递推公式的应用, 等差数列的定义，数列探索性问题.
18. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）19；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）由柱状图并以频率代替概率可得，一所高校在三年内流失的人才数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
；
；
；
；
；
；
.
所以的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故的最小值为19.
（Ⅲ）记表示两所乡村中学未来四年内在招聘教师上所需的费用（单位：万元）.
当时，
.
当时，
.
可知当时所需费用的期望值小于时所需费用的期望值，故应选.
【考点】概率与统计、随机变量的分布列
19. 【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（Ⅰ）连延长交于，
因为点为的重心，所以
又，所以，所以//；
因为//，//，所以平面//平面，
又与分别是棱长为1与2的正三角形，
为中点，为中点, //,又//，
所以//，得四点共面
//平面
（Ⅱ）由题意，以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
设，则
，
，
设平面的法向量，则，取，
平面的法向量，
所以二面角的余弦值，，
又，
,直线与所成角为.
考点：空间线面的平行的判定及向量的数量积公式等有关知识的综合运用.
20.【答案】（I）；（II）证明见解析.
【解析】（I）设，则
∴当且仅当时，取得最小值.所以抛物线方程为：.
（II）由条件可知，则.
联立，消去得，
.
设，则
因为
所以三点共线.
考点：抛物线定义,直线与抛物线的位置关系.
21.【答案】（1）当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，当时，函数的单调增区间是，单调减区间是；（2）见解析.
【解析】（1）由知
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是，
当时，函数的单调增区间是，单调减区间是.
（2）,设的两个相异零点为，，设，
∵，，∴，，
∴，，
要证，即证，
即，即，
设上式转化为（），
设，
∴，
∴在上单调递增，
∴，∴，
∴．
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数与方程、不等式.
22.【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由题意知，曲线的直角坐标方程为.
设点，. 由中点坐标公式得，
代入中，得
点的轨迹的直角坐标方程为.
（2）的坐标为 ，设的参数方程为（为参数）
代入曲线的直角坐标方程得：，
设点，，对应的参数分别为，，，则，，
.
考点：求动点的轨迹方程，直线的参数方程中参数的几何意义．
23.【答案】（1）（2）.
【解析】（1）原不等式等价于或或，得或
∴不等式的解集为．
（2）由方程可变形为 ．
令
作出图象如下:
于是由题意可得．
考点：绝对值不等式的解法，方程解的个数问题.
