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安徽省安庆市第一中学2017届高三第三次模拟 数学文
安庆一中2017届高三年级第三次模拟考试
数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则下列选项正确的是（ ）
A．0⊆A B．{0}⊆A C．∈A D．{0}∈A
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4. 函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5.已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点（ ）
A．(2,0) B．(1,0) C．(0,1) D．(0，－1)
6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（ ）
（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）
A．12 B．24 C．36 D．48
7．“若”的逆否命题是（ ）
A． B．
C． D．
8. 已知实数，满足条件，则的最大值为（ ）
A． B．0 C． D．1
9．已知直线的斜率为2，、是直线与双曲线C：，的两个交点，设、的中点为（2，1），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
11. 数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ）
A． B． C． D．
12. 定义在上的奇函数，当时， ，则关于的函数的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题， 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13已知向量，， ∥（+），则=
14.设数列的前项和为，且，则通项
15.若直线始终平分圆的周长，
则的最大值是
16.已知函数和函数，若对于，总，使得成立，则实数的取值范围为
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
在中，角的对边分别为，，，且成等差数列，
（1）求的值；
（2）求的范围．
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
某校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，按分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？
P（K2k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
附：K2=．
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，在四棱锥中，AE⊥DE，CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求到平面的距离
（2）在线段上是否存在一点，使？
若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
在直角坐标系中，已知中心在原点，离心率为的椭圆的一个焦点为圆C：的圆心．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，过作两条斜率之积为的直线，．当直线，都与圆C相切时，求的坐标．
21. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数图象在点（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数的值；
（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。
22. （坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．
（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求．
23.（不等式选讲）（不小题满分10分）
已知函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在R上恒成立，求实数的取值范围.
答案
一、1B 2C 3A 4C 5B 6 B 7D 8C 9A 10D 11D 12B
13 3 ， 14，15，16 ,
12【解答】解：∵当x≥0时，
f（x）=；
即x∈[0，1）时，f（x）=（x+1）∈（﹣1，0]；
x∈[1，3]时，f（x）=x﹣2∈[﹣1，1]；
x∈（3，+∞）时，f（x）=4﹣x∈（﹣∞，﹣1）；
画出x≥0时f（x）的图象，
再利用奇函数的对称性，画出x＜0时f（x）的图象，如图所示；
则直线y=a，与y=f（x）的图象有5个交点，则方程f（x）﹣a=0共有五个实根，
最左边两根之和为﹣6，最右边两根之和为6，
∵x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），
∴f（﹣x）=（﹣x+1），
又f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣（﹣x+1）=（1﹣x）﹣1=log2（1﹣x），
∴中间的一个根满足log2（1﹣x）=a，即1﹣x=2a，
解得x=1﹣2a，
∴所有根的和为1﹣2a．
17【解答】解：（Ⅰ）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴acosC+ccosA=2bcosB，
由正弦定理得，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
代入得：2RsinAcosC+2RcosAsinC=4RsinBcosB，
即：sin（A+C）=sin2B，
∴sinB=2sinBcosB，
又在△ABC中，sinB≠0，
∴，
∵0＜B＜π，
∴； …（6分）
（Ⅱ）∵，
∴
∴
=
=，
∵，
∴
∴2sin2A+cos（A﹣C）的范围是．… （12分）
18【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，
分数小于等于110分的学生中，
男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；
女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…（2分）
从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：
（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；
其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：
（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），
（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）； …（4分）
故所求的概率为P== … （6分）
（2）由频率分布直方图可知，
在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…（7分）
据此可得2×2列联表如下：
数学尖子生 非数学尖子生 合计
男生 15 45 60
女生 15 25 40
合计 30 70 100
（9分）
所以得K2==≈1.79；…（11分）
因为1.79＜2.706，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…（12分）
19【解答】（I）方法一解：∵CD⊥平面ADE，∴CD⊥AE，又AE⊥ED，ED∩CD=D，∴AE⊥平面CDE，又AB∥CD，∴到平面的距离为AE=…（6分）
方法二 等积法求高
（II）解：在线段DE上存在一点F，使AF∥平面BCE，=．
下面给出证明：设F为线段DE上的一点，且=．
过F作FM∥CD交CE于点M，则FM=，
∵CD⊥平面ADE，AB⊥平面ADE，
∴CD∥AB．又CD=3AB，
∴，
∴四边形ABMF是平行四边形，
∴AF∥BM，又AF⊄平面BCE，BM⊂平面BCE．
∴AF∥平面BCE．…（12分）
20【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）
设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，
∵，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12
∴椭圆E的方程为： …（5分）
（Ⅱ）方法一设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0）
l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2=
由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得
∴
同理可得
从而k1，k2是方程的两个实根
所以①，且
∵，
∴，
∴x0=﹣2或
由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①
故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（）或（）
21【解答】解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，∴a+lne+1=3，
∴a=1；…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx
等价于k＜对任意x＞1恒成立
令g（x）=，则g′（x）=
令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1，
则h′（x）=1﹣=＞0
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x0，满足x0∈（3，4），且h（x0）=0
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增
∴g（x）min=g（x0）==∈（3，4），
∴k＜g（x）min=x0∈（3，4），
∴整数k的最大值为3．…（12分）
22【解答】（本题满分10分）
解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，
∵，
∴x2+y2=4x，
∴对于l：有．…（5分）
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，
得，
化简得，
…（10分）
23解析(1)依题意，|x＋1|＋|x－3|≤2x.
当x<－1时，原不等式化为－1－x＋3－x≤2x，解得x≥
