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山西省孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）数学（理）
孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知复数，则（ ）．
A． 2 B． C． 4 D．
2.已有角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．
A． B． C． D．
3.已知函数则（ ）．
A． B． C． D．
4.现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同.将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽.若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ）．
A． B． C． D．
5.定义：，如，则（ ）．
A．0 B． C．3 D．6
6.在的展开式中，的系数是（ ）．
A． 55 B． 66 C．165 D．220
7.若，且，则的最大值是（ ）．
A．1 B． C． D．2
8.如果满足，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9.已知抛物线的焦点为，点，射线与交于点，与的准线交于点，且，则点到轴的距离是（ ）．
A． B． C． D．1
10.已知是半径为的球面上的两点，过作互相垂直的两个平面、，若截该球所得的两个截面的面积之和为，则线段的长度是（ ）．
A． B．2 C． D．4
11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足.则下列叙述错误的是（ ）．
A． B．当时，点到轴的距离的最大值为6
C．当时，函数单调递减 D．当时，
12.若关于的不等式的解集为，且，则整数的最大值是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题 ，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.已知集合，则____________．
14.过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与的渐近线相交于两点，若（为原点）为正三角形，则的离心率是 ____________．
15. 现有若干（大于20）件某种自然生长的中药材，从中随机抽取20件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于15克为优质品.如图所示的程序框图表示统计20个样本中的优质品数，其中表示每件药材的重量，则图中①，②两处依次应该填的整数分别是____________．
16.如图，已知正方体的棱长为2，点为线段的中点，点分别是线段与上的动点，当三棱锥的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 ____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.数列满足，且.
（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
18.某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本（单位：元）与印刷册数（单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：
印刷册数（千册） 2 3 4 5 8
单册成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7
根据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：，方程乙：.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务.
①完成下表（计算结果精确到0.1）；
印刷册数（千册） 2 3 4 5 8
单册成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7
模型甲 估计值 2.4 2.1 1.6
残差 0 -0.1 0.1
模型乙 估计值 2.3 2 1.9
残差 0.1 0 0
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较，的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷.根据市场调查，新需求量为8千册（概率0.8）或10千册（概率0.2），若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷8千册还是10千册能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）
19.如图（1），五边形中，.如图（2），将沿折到的位置，得到四棱锥.点为线段的中点，且平面．
（1）求证：平面平面；
（2）若直线与所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值．
20. 已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于两点，且与（为坐标原点）的斜率之和为2，求到直线距离的取值范围．
21. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：
请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线（其中为参数，为倾斜角）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求的直角坐标方程，并求的焦点的直角坐标；
（2）已知点，若直线与相交于两点，且，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若，试证：.
参考答案
一、A卷选择题
1－5 AAADA 6－10 DCDBD 11－12 CB
二、填空题
13. 14. 15. 14，19 16. 2
三、解答题
17.解：（1），猜想；
（2）①当时，成立；
②假设时，猜想成立，即有，
由，，及，
得，即当时猜想成立，
由①②可知，对一切正整数均成立.
18.解：（1）①经计算，可得下表：
印刷册数（千册） 2 3 4 5 8
单册成本（元） 3.2 2.4 2 1.9 1.7
模型甲 估计值 3.1 2.4 2.1 1.9 1.6
残差 0.1 0 -0.1 0 0.1
模型乙 估计值 3.2 2.3 2 1.9 1.7
残差 0 0.1 0 0 0
②，故模型乙的拟合效果更好；
（2）若二次印刷8千册，则印刷厂获利为（元），
若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为（元）
故印刷总成本为16640（元），
设新需求量为（千册），印刷厂利润为（元），则
8 10
0.8 0.2
,
故，
故印刷8千册对印刷厂更有利.
19.（1）证明：取的中点，连接，则，
又，所以，则四边形为平行四边形，所以，
又平面，
∴平面，
∴.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，
又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.
（2）解：
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
设，则，
取的中点，连接，过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
∵，
则直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）由已知得，
解得，∴椭圆的方程为；
（2）把代入的方程得：
，
其判别式，①
设，则，②
由已知得，
∴，③
把②代入③得，
即，④
把④代入①及知，
又，∴，
点到直线的距离为，
当时，；
当时，，
令，则，
设，则，∴在单调递减，
∴当时，，
综上，点到直线的距离的取值范围为.
21.（1）解：，
①若时，在上单调递减；
②若时，当时，单调递减；
当时，单调递增；
综上，若时，在上单调递减；
若时，在上单调递减；
在上单调递增；
（2）证明：要证，只需证，
由（1）可知当时，，即，
当时，上式两边取以为底的对数，可得，
用代替可得，又可得，
所以，
，
即原不等式成立.
22.解：（1）原方程变形为，
∵，
∴的直角坐标方程为，其焦点为.
（2）把的方程代入得，
则，①
，
即，
平方得，②
把①代入②得，∴，
∵是直线的倾斜角，∴，
∴的普通方程为，且，
∴的面积为.
23.（1）解：不等式可以转化为
或或，
解得，
即不等式的解集.
（2）证明：因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
即，得证.
