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太原市2017届高三第三次模拟考试 数学理
太原市2017年高三年级模拟试题（三）
数学试卷（理工类）
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2.已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
3.已知随机变量服从正态分布，且，则=（ ）
A.0.6826 B．0.3413 C.0.4603 D．0.9207
4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得.类似上述过程，则=（ ）
A.3 B． C.6 D．
5.执行下面的程序框图，如果输入的，则输出的=（ ）
A．2 B．3 C.4 D．5
6.在中，，，，点是内一点（含边界），若，则的取值范围为（ ）
A. B． C. D．
7.已知某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）具有线性关系关系，其统计数据如下表：
3 4 5 6
25 30 40 45
由上表可得线性回归方程，据此模型预报广告费用为8万元时的销售额是（ ）
A．59.5 B．52.5 C．56 D．63.5
附：；
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（ ）
A． B． C. D．
9.已知数列的前项和为，点在函数的图象上，等比数列满足，其前项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B． C. D．
10.已知函数是偶函数，是奇函数，且对于任意，，且，都有，设，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C. D．
11.已知实数，满足条件若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．5 B． C. D．
12.已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：
7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为 ．
14.= ．
15.在中，，，，点在上，点在上，且，则= ．
16.已知过点的直线与相交于点，过点的直线与相交于点，若直线与圆相切，则直线与的交点的轨迹方程为 .
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.已知，.
（1）若函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，，分别是分内角，，所对的边，且，，，求.
18.购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人将所抽样本中周平均购次数不小于4次的市民称为购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.
（1）根据已知条件完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关？
购迷 非购迷 合计
年龄不超过40岁
年龄超过40岁
合计
（2）若从购迷中任意选取2名，求其中年龄丑啊过40岁的市民人数的分布列与期望.
附：；
0.15 0．10 0.05 0.01
2.072 2.706 3.841 6.635
19.如图，在三棱柱中，侧面底面，，，点，分别是，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知动点到点的距离比到直线的距离小1，动点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与曲线相交于，两个不同点，且，证明：直线经过一个定点.
21. 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当时，若存在实数，使得不等式恒成立，求实数的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请在答题卡上把所选题目对应题号后的方框涂黑.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，且，求实数的值.
23. 选修4-5：不等式选讲.
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）求函数的最小值.
太原市2017年高三年级模拟试题（三）
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1-5:BCAAC 6-10:DABDB 11、12：DA
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.0.4 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共70分）
17.解：（1），
，
的最小正周期为，
令，，则，
的单调递增区间为；
（2），，
，，，，
，，
，，，
.
18.解：（1）由题意可得列联表如下：
购迷 非购迷 合计
年龄不超过40岁 20 45 65
年龄超过40岁 5 30 35
合计 25 75 100
假设购迷与年龄不超过40岁没有关系，
则.
所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为购迷与年龄不超过40岁有关；
（2）由频率分布直方图可知，购迷共有25名，由题意得年龄超过40的市民人数的所有取值为0，1，2，
，，，
的分布列为
0 1 2
.
19.解：（1）证明：取的中点，连接，，
是的中点，，
是三棱柱，，
，平面，
是的中点，，平面，
平面平面，
平面；
（2）过点作，垂足为，连接，
侧面底面，平面，
，，
，，，，
，，由余弦定理得，
，
，，，
分别以，，为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，
由题设可得，，，，，，
设是平面的一个法向量，
则令，，
，，
直线与平面所成角的正弦值为.
20.解：（1）由题意可得动点到点的距离等于到直线的距离，
曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
设其方程为，，，
动点的轨迹的方程为；
（2）设，由得，
，.
，，
，或.
，舍去，，满足，
直线的方程为，
直线必经过定点.
21. 解：（1）由题意得，，
，
①当时，则，此时无极值；
②当时，令，则；令，则；
在上递减，在上递增；
有极小值，无极大值；
（2）当时，有（1）知，在上递减，在上递增，且有极小值，
①当时，，，
此时，不存在实数，，使得不等式恒成立；
②当时，，
在处的切线方程为，
令，，
则，，
令，，
则，
令，则；令，则；
，，
，
当，时，不等式恒成立，
符合题意；
由①，②得实数的取值范围为.
22.解：（1）由消去参数可得普通方程为，.
，，
由，得曲线的直角坐标方程为；
（2）由（1）得曲线：，其极坐标方程为，
由题意设，，
则，
，，
，.
23. 解：（1），原不等式为，
，或或
或或，
原不等式的解集为.
（2）由题意得
，
