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南昌市2017届高三第三次模拟 数学理
江西省南昌市第三次模拟测试卷
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分分，考试时间分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．
3．考试结束后，监考员将答题卡收回．
参考公式：
圆锥侧面积公式：，其中为底面圆的半径，为母线长．
第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：发仓募粮，所募粒中秕不百三则收之(不超过3%)，现抽样取米一把，取得235粒米中夹秕粒，若这批米合格，则不超过（ ）
A．粒 B．粒 C．粒 D．粒
4．已知若，则（ ）
A． B． C． D．
5．是恒成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象的大致形状是（ ）
7．已知直线与抛物线：及其准线分别交于两点，为抛物线的焦点，若，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（ ）
（参考数据：,）
A．12 B．24 C．36 D．48
10．已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B．
C. D．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A． B．
C． D．
12．函数所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题～第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13.已知展开式中含项的系数为，则正实数 .
14.已知向量，若，则 .
15.对任意，直线都与平面区域有公共点，则实数的最大值是 .
16.定义域为的函数满足，当时， ．
若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ．
三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分12分) 已知数列满足
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和.
18．(本小题满分12分) 为备战年瑞典乒乓球世界锦标赛，乒乓球队举行公开选拨赛，甲、乙、丙三名选手入围最终单打比赛名单.现甲、乙、丙三人进行队内单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者得分，负者得分，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，丙胜甲的概率为，乙胜丙的概率为，且各场比赛结果互不影响.若甲获第一名且乙获第三名的概率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设在该次对抗比赛中，丙得分为，求的分布列和数学期望.
19．(本小题满分12分) 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，,，点是线段上靠近点的三等分点.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）若是边长为的等边三角形，
求直线与平面所成角的正弦值.
20．(本小题满分12分) 如图，已知直线关于直线对称的直线为，直线与椭圆分别交于点、和、，记直线的斜率为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当变化时，试问直线是否恒过定点?
若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数在点处的切线方程为,且.
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）若在上恒成立，求正整数的最大值.
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为 （为参数）.
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线向左平移一个单位,再经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点的直角坐标.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D B C A A C B B B C B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
13． ; 14. ; 15. ; 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤.
17.【解析】（Ⅰ）……①，
∴当时，②
①②得，∴. …………5分
又∵当时，， ∴，∴. …………6分
（Ⅱ）,……③
……④
∴
∴. …………12分
18.【解析】（Ⅰ）由已知，甲获第一名且乙获第三名的概率为.
即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为， …………2分
∴， ∴. …………6分
（Ⅱ）依题意丙得分可以为,丙胜甲的概率为，丙胜乙的概率为 …………7分
,,
…………10分
∴ . …………12分
19.【解析】（Ⅰ）作于……①,连接，
∵平面平面，且 ，∴面. ………2分
∵，∴,∴，
又∵，∴……②
又,由①②，得面，又面，∴. ………6分
（Ⅱ）∵是边长为的等边三角形，
∴如图建立空间坐标系，
设面的法向量为，
，令，得
，
，设与面所成角为
∴直线与平面所成角的正弦值. 12分
20.【解析】（Ⅰ）设直线上任意一点关于直线对称点为
直线与直线的交点为，∴
，由
得……..①
由得…….②，
由①②得
. …………6分
（Ⅱ）设点，由得，
∴，∴.
同理：， …………8分
…………9分
，∴
即： …………11分
∴当变化时，直线过定点. 12分
21.【解析】（Ⅰ），那么
由，得，化简得
由得，∴ …………3分
即，得，∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大 5分
（Ⅱ）在上恒成立，等价于在上恒成立.
设，则
设，则， …………6分
∵，有， ∴在区间上是减函数，
又∵，
∴存在，使得，当时，有，当时，有.∴在区间上递增，在区间上递减，
又∵
∴当时，恒有；当时，恒有；
∴使命题成立的正整数的最大值为. …………12分
22.【解析】（I）由 （为参数）得曲线的普通方程为
得曲线的极坐标方程为. …………4分
（Ⅱ），向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线的直角坐标方程为，设，则
…………7分
当时，的最小值为，
此时点的坐标为或. …………10分
23.【解析】（Ⅰ），
∴.
综上，不等式的解集为. …………5分
（Ⅱ）存在使不等式成立
由（Ⅰ）得，时，，时，
∴， ∴，∴实数的取值范围为. …………10分
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