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辽宁省沈阳市2017届高三第三次模拟考试 数学(文)
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)
数 学(文科)
第Ⅰ卷
一、选择题:(本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
若集合,,则等于
(A) (B) (C) (D)
已知是虚数单位,则满足的复数在复平面上对应点所在的象限为
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
已知向量与不共线,,R),则与共线的条件是
(A) (B) (C) (D)
已知函数,,动直线与和的图象分别交于、两点,则的取值范围是
(A)[0,1] (B)[0,] (C)[0,2] (D)[1,]
在边长为的正方形内部取一点,则满足为锐角的概率是
(A) (B) (C) (D)
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈。问积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,无宽,高1丈。现给出该楔体的三视图,其中网格纸上小正方形的边长为1丈,则该楔体的体积为
(A)4立方丈 (B)5立方丈
(C)6立方丈 (D)8立方丈
图中阴影部分的面积S是高h的函数(0≤h≤H),则该函数的大致图象是
(A) (B) (C) (D)
已知,是抛物线的焦点,是抛物线上的
动点,则周长的最小值为
(A)9 (B)10
(C)11 (D)15
按右图所示的程序框图,若输入,
则输出的
(A)53 (B)51
(C)49 (D)47
将长宽分别为和的长方形沿对角线折起,
得到四面体,则四面体外接球的表面积为
(A) (B)
(C) (D)
已知数列是等差数列且满足,
设为数列的前项和,则为
(A) (B) (C) (D)
设函数的定义域为,若满足条件:存在,使在上的值域为,则称为“倍缩函数”.若函数为“倍缩函数”,则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13题-21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题-23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上)
13.已知是第二象限角,且sin(,则tan2的值为 .
14.已知实数满足:,则的最小值为 .
15.已知双曲线的右顶点为 ,为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线交于、 两点,若, 且,则双曲线的渐近线方程为 .
16.意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:,,若此数列被整除后的余数构成一个新数列,则 .
三、解答题:(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)
如图,已知中,为上一点,,,.
(I)求的长;
(II)若的面积为,求的长.
18. (本小题满分12分)
“共享单车”的出现,为我们提供了一种新型的交通方式。某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度,从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如下:
(Ⅰ)根据茎叶图,比较两城市满意度评分的平均值和方差(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(Ⅱ)若得分不低于80分,则认为该用户对此种交通方式“认可”,否则认为该用户对此种交通方式“不认可”,请根据此样本完成下列2×2列联表,并据此样本分析你是否有的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关.
(参考公式:)
(Ⅲ)在和两个城市满意度在分以上的用户中任取户,求来自不同城市的概率.
19. (本小题满分12分)
在四棱锥中,底面为菱形,,交于,
(I)求证:平面平面
(II)延长至,使,连结,. 试在棱上确定一点,使平面,并求此时的值.
20. (本小题满分12分)
已知椭圆的离心率,且与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆上点作椭圆的弦,若的中点分别为,若平行于,则斜率之和是否为定值?
21. (本小题满分12分)
已知R)
(I)求的单调区间;
(II)已知常数,求证:对于,都有恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程为,在同一平面直角坐标系中,将曲线上的点按坐标变换得到曲线,以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)若过点(极坐标)且倾斜角为的直线与曲线交于两点,弦的中点为,求的值.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
已知正实数,函数.
(Ⅰ)若,解关于的不等式;
(Ⅱ)求证:.
2017年沈阳市高中三年级教学质量监测(三)
数学(文科)参考答案与评分标准
说明:
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
三、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1. C 2. A 3.D 4. B 5.D 6. B
7. B 8. C 9. A 10.B 11. A 12. C
简答与提示:
【命题意图】本题考查一元二次方程及集合的运算.
【试题解析】由得或. 故选C.
【命题意图】本题考查复数的模.
【试题解析】由得.故选A.
【命题意图】本题考查向量共线的条件.
【试题解析】由,共线得即
.故选D.
【命题意图】本题主要考查三角函数辅助角公式.
【试题解析】由得.故选B.
【命题意图】本题考查几何概型.
【试题解析】由为锐角得位于半圆外, .故选D.
【命题意图】本题主要考查三视图中几何体体积.
【试题解析】可以通过割补法得到两个四棱锥和一个三棱柱.故选B.
【命题意图】本题主要考查函数图象问题.
【试题解析】当时,对应的阴影面积为0,排除C和D,当时,对应阴影部分的面积小于整个面积的一半,且随着的增大,减小的幅度不断变小.故选B.
【命题意图】本题考查抛物线.
【试题解析】.故选C.
【命题意图】本题考查程序框图.
【试题解析】由题意知. 故选A.
【命题意图】本题主要考查几何体的外接球的相关知识.
【试题解析】球心为中点,.故选B.
【命题意图】本题主要考查等差数列的性质.
【试题解析】 ,
∴数列的前2017项和.故选A.
【命题意图】本题主要考查函数的单调性及导数相关知识.
【试题解析】在上有两根.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 14. 15. 16.
简答与提示:
【命题意图】本题考查三角函数相关知识.
【试题解析】,,.
【命题意图】本题考查线性规划的相关知识.
【试题解析】试题分析:由题意得,画出约束条件所表示的可行域,如图所示,由,解得,即点,当目标函数经过点时,取得最小值,此时最小值为.
【命题意图】本题主要考查点到直线距离及双曲线的几何性质.
【试题解析】到直线的距离故.
【命题意图】本题考查数列的相关知识.
【试题解析】 数列的前几项为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,因此数列 是周期数列,其周期为8,因此.
三、解答题
(本小题满分12分)
【命题意图】本题考查正余弦定理及三角形面积公式等.
【试题解析】解:(I),, (1分)
, (4分)
由正弦定理得即,得; (6分)
(II),得, (8分)
由余弦定理得 (10分)