点击下载：江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考数学（理）
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三数学试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集为，集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.设复数（是虚数单位），的共轭复数为，则等于（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示的程序框图，若输入，，，的值分别为1，，9，3，则输出的值为（ ）
A. B. C.7 D.19
4.设，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若最大值为5，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.在中，，，，则边上的高等于（ ）
A. B. C. D.3
6.若不等式组所表示的平面区域被直线分成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，，，若，分别是棱，上的点，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，平行四边形的两条对角线相交于点，点，分别在边，上，，，直线交于点，，则等于（ ）
A. B. C. D.
9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则此几何体的表面积为（ ）
A. B.
C.10 D.12
10.已知函数（，）的部分图象如图所示，，两点之间的距离为13，且，若将函数的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
11.已知定义在区间上的单调函数满足：对任意的，都有，则在上随机取一个实数，使得的值不小于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
12.若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设为锐角，若，则 ．
14.若的展开式中前三项的系数分别为，，，且满足，则展开式中的系数为 ．
15.我国古代数学家著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一.并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余税金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的.5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为 ．
16.点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.等差数列的前项和为，已知，为整数，且的最大值为.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18.在高中学习过程中，同学们经常这样说：“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题.”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论.现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如下表：
编号
成绩 1 2 3 4 5
物理（） 90 85 74 68 63
数学（） 130 125 110 95 90
（1）求数学成绩关于物理成绩的线性回归方程（精确到），若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
（2）要从抽取的五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
（参数公式：，.）
参考数据：，
.
19.如图所示，在等腰梯形中，，，，将三角形沿折起，使点在平面上的投影落在上.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面的平面角的余弦值.
20.已知点，点在轴上，动点满足，且与轴交于点，是线段的中点.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）点是直线上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为，，取线段的中点，连接交曲线于点.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
21.已知函数（，）.
（1）当时，讨论函数的单调区间；
（2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于，两点.
（1）求，两点的极坐标；
（2）曲线与直线（为参数）分别相交于，两点，求线段的长度.
23.设对于任意实数，不等式恒成立.
（1）求的取值范围；
（2）当取最大值时，解关于的不等式：.
2016～2017学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考
高三数学试卷参考答案（理科）
一、选择题
1.B ∵，，∴.
2.D ∵，∴，∴.
3.D 程序执行过程为：，；，；，；，∴终止程序，∴输出的.
4.A 因为，，
所以的周长为，
显然，当最小时，有最大值，
而，所以，，解得，，从而.
5.A 设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，
因为，，所以，
化简得，解得.
又，由，得.
6.D 不等式组表示的可行域为三角形，如图所示：目标函数所在直线将其可行域平行，
因为，所以，设，则，得，所以.
7.D 以的中点为坐标原点建立空间直线坐标系数如图所示，则，，，，，，设，所成的角为，则.
8.C 因为，所以，又，，三点共线，所以，解得.
9.B 如图所示，可将此几何体放入一个边长为2的正方体内，则四棱锥即为所求，且，，可求得表面积为.
10.C 如图可设，，所以，解得，所以，即，所以，又，可得，即.
将函数的图象向右平移个单位长度得新图象对应的函数，令，得，所以.当时，的最小值为9.
11.C 依题知，对任意的，都有（其中为常数），即，∴，即，得，故，由得，因此所求概率为.
12.B 令，则，，
当时，得，从而，得在上是增函数，
故，不合题意；
当时，令得，，
由和得，故当时，在上单调递减，此时，
即，满足，综上，的取值范围是.
二、填空题
13. 因为为锐角，若，所以，因此.
14. 因为，，，所以有，即，解得.在中，因为通项，令，得，所以展开式中的系数为.
15. 第1关收税金：；
第2关收税金：；
第3关收税金：；
……
第8关收税金：.
16. 如图，是切点，是的中点，因为，所以，又，所以，，又，根据双曲线的定义，有，即，两边平方并化简得，所以，因此.
三、解答题
17.解：（1）由，为整数知，等差数列的公差为整数.
又，故，，
解得，
因此
数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，①
，②
②式减①式得，，
整理得，
因此.
18.解：（1），，
，
，
所以，
当时，.
（2）因为数学成绩高于100分的人有3个，所以随机变量的可能取值为1，2，3，
而，，，
所以随机变量的分布列为
1 2 3
所以.
19.（1）证明：在等腰梯形中，可设，可求出，，
在中，，∴，
∵点在平面上的投影落在上，
∴平面，平面平面，∴，
又，，∴平面，
而平面∴平面平面.
（2）解：由（1）知，，为中点，建立如图所示的空间坐标系，设，
结合（1）中的计算可得：，，，，，，
设是平面的法向量，则，取.
，，设是平面的法向量，则，
取.
设二面角的平面角为，则.
20.解：（1）设，，，
，，∵，∴，即，
又，∴，代入，得.
（2）设，，，
因为直线与抛物线相切，所以，，
直线的方程可表示为，
因为点在上，所以，化简得，
同理可得：点的坐标满足，
所以直线的方程为，直线过定点.
21.解：（1）当时，，，
①当时，，所以函数的单调递增区间为；
②当时，可知：，所以当时，；
当时，；
所以函数的单调递增区间为，递减区间为.
（2）当时，，，
若，此时对任意都有，，
所以恒成立；
下面考虑时的情况：
若，对任意都有，，所以，所以为上的增函数，所以，即时满足题意；
若，则由，，可知：一定存在，使得，且当时，，所以在上，单调递减，从而有：时，不满足题意.
综上可知，的取值范围为.
22.解：（1）由得，
所以，即.
所以、两点的极坐标为：，或同样得分.
（2）由曲线的极坐标方程得其直角坐标方程为，
将直线代入，
整理得，即，，
所以.
23.解：（1）∵，
又恒成立，
∴.
（2）当取最大值时，
原不等式等价于：，
等价于：或，
等价于：或.
所以原不等式的解集为.
