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2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）
文科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 复数（为虚数单位）的虚部是（ ）
A．1 B．-1 C． D．
3.已知向量，且，则（ ）
A．-9 B．9 C．6 D． -6
4. 《张丘建算经》卷上一题为“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，现在一月（按30天计）共织布390尺，最后一天织布21尺”，则该女第一天共织多少布？（ ）
A．3 B． 4 C. 5 D．6
5.命题：，则命题为（ ）
A． B．
C. D．
6. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A． B． C. D．
7.双曲线的离心率为，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C. D．2
8.道路交通法规定：行人和车辆路过十字路口时必须按照交通信号指示通行，绿灯行，红灯停，遇到黄灯时，如已超过停车线须继续行进，某十字路口的交通信号灯设置时间是：绿灯48秒，红灯47秒，黄灯5秒，小张是个特别守法的人，只有遇到绿灯才通过，则他路过该路口不等待的概率为（ ）
A．0.95 B．0.05 C. 0.47 D．0.48
9.执行如图程序语句，输入，，则输出的值是（ ）
A．3 B．4 C. 6 D．-1
10.曲线上的点到直线的距离最大值为，最小值为，则的值是（ ）
A． B．2 C. D．
11.已知正项数列中，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C. D．[]
12.已知定义在上的函数的导函数为，对任意满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知，则 ．
14. 观察下列式子：，
，
，
…，
根据以上规律，第个不等式是 ．
15.已知实数满足，则的最大值为 ．
16. 已知一个三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的外接球的直径为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知中，角所对的边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，的面积为，求．
18. 某中学数学老师分别用两种不同教学方式对入学数学平均分和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班（人数均为20人）进行教学（两班的学生学习数学勤奋程度和自觉性一致），数学期终考试成绩茎叶图如下：
（1）现从乙班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求至少有一名成绩为90分的同学被抽中的概率；
（2）学校规定：成绩不低于75分的优秀，请填写下面的联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
附：参考公式及数据
19. 如图，正三棱柱的所有棱长均为2，，分别为和的中点．
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
20. 已知动点到定点和定直线的距离之比为，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设，过点作斜率不为0的直线与曲线交于两点，设直线的斜率分别是，求的值．
21. 已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）求证：当时，．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为：，直线的参数方程是（为参数，）．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于两点，且线段的中点为，求．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若都是正实数，且，求证：．
2017年咸阳市高考模拟考试试题（二）
文科数学参考答案
一、选择题：ABBCC DBDAC BA
二、填空题：(13) (14) (15) (16)
三、解答题：
(17)
解： (I)由及正弦定理得，
∵∴ 得
(Ⅱ)由得，将，代入得
知为正三角形，可得.
(18)
解: （I）乙班数学成绩不低于分的同学共有名,其中成绩为分的同学有两名,
画数状图(略)知,从中随机抽取两名同学共有种,至少有一名成绩为分的同学被抽中的事件数为种,所求概率为
(Ⅱ)如图所示
由知, 可以判断：有把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
（19）
（I）证明：由知
又平面平面，所以平面
而平面，∴
在正方形中，由分别是和的中点知
而，∴平面
(Ⅱ)解法1: 由（I）平面,过点作，
交和分别于点和,则平面,即的长为到平面的距离，
在正方形中,易知，
即,得，
故到平面的距离为.
解法2：如图，连接，在三棱锥中，设到平面的距离为，
则，
将，
代入得，得，
故到平面的距离为.
（20）
解: （I）法1：设,则依题意有，整理得,即为曲线的方程.
法2：由椭圆第二定义知，曲线是以为焦点，以直线为相应准线，离心率为的椭圆，易得曲线的方程为.
（Ⅱ）设直线,
则，即
∴
即
(21)
（I）解:∵ ∴ 得
切点为,斜率为,所求切线方程为,即.
(Ⅱ)证明:法1： ,即
∵ ∴只要证明即可
令，则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，
综上知, 当时，.
法2：由知, ,令[]
则
注意到，当时，；当时，，
即在上是减函数，在是增函数，，所以,
即.
综上知, 当时，.
(22)
解: （I）曲线,即,于是有,
化为直角坐标方程为:
（II）方法1:
即
由的中点为得,有,所以
由 得
方法2:设,则
,
∵,∴,由 得.
方法3: 设,则由是的中点得
,
∵,∴,知
∴,由 得.
方法4:依题意设直线,与联立得,
即
由得 ,因为 ,所以.
（23）
解: （I）依题意,即,
∴
（II）方法1:∵
∴
当且仅当,即时取等号
方法2: ∵
∴由柯西不等式得
整理得
当且仅当,即时取等号.
