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宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学（理）
福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则 （ ）
A． B． C． D．
2.若复数满足为复数单位），则 的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3. 已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 已知是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点，连接，则弦的长不小于圆半径的概率是（ ）
A． B． C. D．
5.执行如图所示的程序框图，如果输出的值为，则输入的值可以是 （ ）
A． B． C. D．
6.已知实数满足的约束条件，表示的平面区域为，若存在点，使成立，则实数的最大值为 （ ）
A． B． C. D．
7. 已知，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
8. 已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C. D．
9. 函数的图象大致是（ ）
A． B． C. D．
10. 已知为双曲线右支上一点，分别为双曲线左顶点和的右焦点，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
11.已知在三角形中，，边的长分别为方程的两个实数根，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C. D．
12.若对，不等式恒成立，则实数取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.的二项式中不含的项的系数为 ．
14.已知平面向量，若，则 ．
15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则 ．
16. 已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列的前项和为是等差数列，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18. 随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查人,并将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
频数
赞成人数
（1）世界联合国卫生组织规定:岁为青年，为中年，根据以上统计数据填写以下列联表：
青年人 中年人 合计
不赞成
赞成
合计
（2）判断能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车柄限行”与年龄有关？
附：，其中
独立检验临界值表：
（3）若从年龄的被调查中各随机选取人进行调查，设选中的两人中持不赞成“车辆限行”态度的人员为，求随机变量的分布列和数学期望.
19. 如图，在四棱台中，底面为平行四边形，为上的点.且.
（1）求证：；
（2）若为的中点，为棱上的点，且与平面所成角的正弦值为，试求的长.
20. 已知抛物线上的点到点距离的最小值为.
（1）求抛物线的方程；
（2）若，圆，过作圆的两条切线分别交轴两点，求面积的最小值.
21. 已知函数.
（1）当时，求证：对时，；
（2）当时，讨论函数零点的个数.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，且直线经过椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；
（2）若直线与椭圆交于两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求的解集；
（2）若），求证：对，且成立.
福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学（理）
试题参考答案
一、选择题
1-5:ADBDD 6-10:ACBBC 11-12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：(1)因为，所以，两式相减，得.又当时，.所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为当数列为等差数列.
(2)据(1)求解知，
.
18. 解：(1)
青年人 中年人 合计
不赞成
赞成
合计
(2)由（1）表中数据得
.，因此，在犯错误的概率不超过的前提下，认为赞成“车辆限行”与年龄有关.
（3）的可能取值为，，
，所以随机变量的分布列：
所以数学期望.
19. 解：(1)在平行四边形中，，在中，，可得
.又.又平面，，又平面.又平面平面.又平面.
(2)为的中点，，所以四边形为菱形.又平面，所以分别以为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点
..
设平面的一个法向量为，则有，令，则，设，，
，，或（舍去）..
20. 解：(1)
.，所以当即时，，不符合题意，舍去；所以即时，， 或（舍去），.
(2) 由题意可知，，所以直线的方程为，即，，整理得：
，同理：，为方程的两根，，，当且仅当时，取最小值.
21. 解：(1)当时，，则，令，则，当时，，即，所以函数在上为增函数，即当时，，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.
(2)由（1）知，当时，，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对，，即.
①当时，，又，，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当 时，，当时，，所以函数在区间上有且仅有一个零点，且为.
②当时，（ⅰ）当时，，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点.
(ⅱ)当时， ，令，则，所以函数在上单调递增，，当时，，又曲线在区间上不间断，所以，使，故当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时，，又，曲线在区间上不间断.所以，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.
22. 解：(1) 椭圆化为.设椭圆的内接矩形中，的坐标为，.所以椭圆的内接矩形面积最大值为.
(2)由椭圆的方程，得椭圆的右焦点，由直线经过右焦点，得，易得直线的参数方程可化为为参数），代入到，整理得，，即.
23. 解：（1）由，得或或，
解之得，的解集为.
（2），，当且仅当时，取等号.，即，又因为当时，对，且成立.
