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宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学（文）
福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查
数学（文）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数为虚数单位）实部与虚部的和为（ ）
A． B． C． D．
2. 已知命题，命题，则下列命题是真命题的是（ ）
A． B． C． D．
3. 佳佳同学在次测试中，数学成绩的茎叶图如图，则这次成绩的中位数是（ ）
A． B． C． D．
4. 已知直线经过双曲线的一个焦点，且与其一条渐近线平行，则双曲线的实轴长为（ ）
A． B． C. D．
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C. D．
6.将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 （ ）
A． B． C. D．
7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C. D．
8. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则判断框内应填的内容是（ ）
A． B． C. D．
10.已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，过作，垂足为，记与交于点，若，且的面积为，则 （ ）
A． B． C. D．
11. 已知等边三角形三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（ ）
A． B． C. D．
12.已知函数满足，当时，，若方程有两个不同实数根，则实数的最大值是 （ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若，则向量与的夹角为 ．
14. 已知实数满足的约束条件，表示的平面区域为，若存在点，使成立，则实数的最大值为 ．
15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则 ．
16.把正整数按一定的规律排成如图所示的三角形阵.设）是位于数阵中从上向下数第行，从左向右数第列的数，例如：，若，则 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知在中，分别是角所对应的边，且.
（1）若，求；
（2）若，求的面积.
18. 随着生活水平的提高，人们对空气质量的要求越来越高，某机构为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查人,并将调查情况进行整理后制成下表：
年龄（岁）
频数
赞成人数
（1）完成被调查人员年龄的频率分布直方图，并求被调査人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁？
（2）若从年龄在的被调查人员中各随机选取人进行调查.请写出所有的基本亊件,并求选取人中恰有人持不赞成态度的概率.
19. 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为的正方形，为上的一点，且平面平面.
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积.
20. 已知分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上的一点，的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是圆上任一点，过点作椭圆的切线，切点分别为，求证：.
21. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意的，不等式，对恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆的极坐标方程为，且直线经过椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的内接矩形面积的最大值；
（2）若直线与椭圆交于两点，求的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知.
（1）求的解集；
（2）若），求证：对，且成立.
福建省宁德市2017届高三毕业班第三次质量检查数学（文）
试题参考答案
一、选择题
1-5: ACACD 6-10:ADDBD 11-12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：(1),
又.
(2)由题意，得，
.
18. 解：(1)被调查人员年龄的频率分布直方图如图所示：
被调查人员持赞成态度人的平均年龄约为（岁）.
(2)设中赞成的人分别为，不赞成的人为，
中赞成的人分别为，不赞成的人为.基本事件为：
，
，
基本事件共有个，其中恰有人持不赞成态度的基本事件为个.据古典概型知：恰有人持不赞成态度的概率.
19. 解：(1)在四边形中，过点作，垂足为.因为平面平面，平面平面平面，平面，又平面.因为直三棱柱中，平面平面平面，平面.
(2)平面是与平面所成的角，即.在中，，又.，，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离.由（1）得平面，所以在中，..
20. 解：(1)由的周长为，得，由，得，又.故椭圆的方程为.
(2) ① 当切线的斜率不存在或为零时，此时取，显然直线与直线恰是椭圆的两条切线.由圆及椭圆的对称性，可知.
②点切线斜率存在且不为零时，设切线的方程为的方程为，由，消，得，
与椭圆相切，.
.即；同理：切线中，，是方程的两个根，又在圆上，.
综上所述：.
21. 解：(1),所以①当，即时，在上恒成立，在上单调递增.②当时，由，得（不符合题意，舍），，所以由得，由得，在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为 ，递减区间为.
(2) 对，即，又恒成立，.令，则，又时，，在上是减函数，，即.
22. 解：(1) 椭圆化为.设椭圆的内接矩形中，的坐标为，.所以椭圆的内接矩形面积最大值为.
(2)由椭圆的方程，得椭圆的右焦点，由直线经过右焦点，得，易得直线的参数方程可化为为参数），代入到，整理得，，即.
23. 解：（1）由，得或或，
解之得，的解集为.
（2），，，当且仅当时，取等号.，即，又因为当时，对，且成立.
