温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么
. .
柱体的体积公式 . 其中 表示 球的体积公式 . 其中 表示
柱体的底面积, 表示柱体的高. 球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知 （其中 为虚数单位, R）,则 等于
（A） （B） （C） （D）
（2）已知命题 R, ≤ ,则 为
（A） R, （B） R,
（C） R, （D） R, ≥
（3）设非负实数 满足约束条件 则 的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（4）已知函数 （ ）,若 ,则 的最小正周期为
（A） （B） （C） （D）
（5）过双曲线 上一点 作直线 交双曲线于 两点,且斜率分别为 ,若直线 过原点, ,则双曲线的离心率 等于
（A） （B） （C） （D）
（6）设函数 若 ,则实数 的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图,已知圆 半径是 , 和 是圆 的两条
割线，且 过 点,若 , ,给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ . 则所有正确结论的序号是
（A）①③ （B）①④
（C）①②③ （D）①③④
（8）若函数 恰有 个零点,则实数 的值为
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或 或
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上.
（9）已知某校高三年级有140名学生,其中文科生40人,
其余是理科生,现采用分层抽样的方法从中抽取14
名学生进行调研,则抽取的理科生的人数为 .
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何
体的体积为 cm³.
（11）阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出 的
值为 .
（12）已知函数 是R上的奇函数,且 的图象关
于 对称,当 时, ,则在区
间 上方程 实根的个数为 .
（13）如图,在△ 中, , ,
若 ,则 的值为 .
（14）已知 , ,其中 N*,则 的
最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
现有8名区级学科竞赛优胜者,其中有语文学科 ,数学学科 ,英语学科 .从中选出语文、数学、英语学科竞赛优胜者各1名组成一个小组参加市级学科竞赛,已知各学科中每名优胜者被选中的机会均等.
（Ⅰ）列举出组成这个小组所有可能的结果；
（Ⅱ）求 和 均没有被选中的概率；
（Ⅲ）求 和 中至少有一人被选中的概率.
（16）（本小题满分13分）
在△ 中,角 为三个内角,已知 , , .
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）设 为 的中点,求 的长.
（17）（本小题满分13分）
如图,四棱锥 的底面是平行四边形, ,
平面 ,且 , 为 的中点.
（Ⅰ）求证: ；
（Ⅱ）求证: 平面 ；
（Ⅲ）求二面角 的大小.
（18）（本小题满分13分）
已知数列 满足: , , N*且 ≥ .
（Ⅰ）求证: 数列 为等差数列；
（Ⅱ）求数列 的通项公式；
（Ⅲ）设 ,求数列 的前 项和 .
（19）（本小题满分14分）
如图,椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 、 ,离心率 .过 的直线交椭圆 于 、 两点,且△ 的周长为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 相切于 点,且与
直线 相交于 点,求证:直线 垂直于直线 .
（20）（本小题满分14分）
已知函数 , R.
（Ⅰ） 当 时,求 的单调区间和极值；
（Ⅱ） 若关于 的方程 恰有两个不等的实根,求实数 的取值范围；
（Ⅲ）设 , 当 ≤ 时, 若对于任意的 , R,不等式 ≤ 恒成立,求实数 的取值范围.
和平区2014-2015学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学（文理）学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题 （每小题5分，共40分）
（1）D （2）C （3）B （4）A （5）A （6）B （7）D （8）C
二、填空题 （每小题5分，共30分）
题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）
文科
理科
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（本题13分）文科
（Ⅰ）解: 依题意,从8名学科竞赛优胜者中选出3名组成一个小组所有可能的结果为:
, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , , ,
, ,共18种. ………………（6 分）
（Ⅱ）解: 用 表示“ 和 均没有被选中”,其所有可能的结果为:
, , , ,
, , , ,共8种. …（8 分）
∴ . ………………（10分）
（Ⅲ）解: 用 表示“ 和 中至少有一人被选中”,则其对立事件 表示“ 和 均没有被选中”, 包含的基本事件有:
, , , ,
, ,共6种. ………………（11分）
则 .
∴ . ………………（13分）
（15）（本题13分）理科
（Ⅰ）解: 依题意 , , ………………（2 分）
由 解得 . ………………（4 分）
则
………………（6 分）
. ………………（8 分）
∴ 的最小正周期 . ………………（9 分）
（Ⅱ）解:∵ 在区间 上是增函数,
在区间 上是减函数, ………………（11分）
且 , , ,
∴函数 在区间 上的最大值为 ,最小值为 . ……（13分）
（16）（本题13分）文科
（Ⅰ）解: ∵在△ 中, , ,
∴ , . ………………（2 分）
由正弦定理得 , ………………（4 分）
即 . ………………（6 分）
（Ⅱ）解: 在△ 中, , , ,
由余弦定理得 , ………………（8 分）
即 ,
整理得 ,解得 . ………………（10分）
∵在△ 中, , , ,
∴由余弦定理得 , ………………（11分）
即 .
∴ . ………………（13分）
（16）（本题13分）理科
（Ⅰ）解: 设“一次取出的3张牌中的花色互不相同”的事件记为 , ………（1 分）
则 . ………………（5 分）
（Ⅱ）解: 由题意,随机变量 的所有可能值为 . ………………（6 分）
, ………………（7 分）
, ………………（8 分）
, ………………（9 分）
. ………………（10分）
∴随机变量 的分布列是:
∴数学期望 . …（13分）
（17）（本题13分）文科
（Ⅰ）证明:∵ 平面 , 平面 ,
∴ . ………………（1 分）
∵ , ,
∴ . ………………（2 分）
∵ ,
∴ 平面 . ………………（3 分）
∵ 平面 ,
∴ . ………………（4 分）
（Ⅱ）证明:如图,连接 ,与 相交于点 ,连接 .
∵四边形 是平行四边形,
∴ 为 的中点. ………………（5 分）
∵ 为 的中点,
∴ . ………………（6 分）
∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 . ………………（8 分）
（Ⅲ）解: 如图,作 ,交 于 点,
则 为 的中点. …………（9 分）
∵ , ,
∴ . ………………（10分）
连接 ,则 ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ ,从而 .
∴ 平面 .
∴ 是二面角 的平面角. ………………（11分）
∵ , , ,
∴ . ………………（12分）
∵ ,
∴ .
∴二面角 的大小为 . ………………（13分）
（17）（本题13分） 理科
依题意,以点 为原点建立空间直角坐标系（如图）,
设 ,可得 , , ,
, , . ………………（1 分）
（Ⅰ）证明:∵ , , . …………（2 分）
设平面 的法向量为 ,
则有 即
令 ,得 . ……（4 分）
∵ ,
∴ . ………………（5分）
∵ 平面 ,
∴ 平面 . ………………（6 分）
（Ⅱ）解: 易知平面 的一个法向量 ,
由（Ⅰ）可知平面 的法向量 ,
∴ , . ………………（8 分）
∵二面角 是锐二面角,
∴二面角 的余弦值为 . ………………（9 分）
（Ⅲ）解: ∵ , , , ………………（10分）
∴ . ………………（12分）
∴ 与 所成的角为 . ………………（13分）
（18）（本题13分）
（Ⅰ）证明:∵ ,
∴ .
∴ . ………………（2 分）
由 ,可知 ,
∴ . ………………（4 分）
即 . ………………（5 分）
∵ ,
∴数列 是首项为 ,公差为 的等差数列. ………………（6 分）
（Ⅱ）解: 由（Ⅰ）得 , ………………（7 分）
∴数列 的通项公式 . ………………（9 分）
（Ⅲ）解: ∵ ,…………（11分）
∴
. ………………（13分）
（19）（本题14分）
（Ⅰ）解:∵ ,即 ,
而 , ………………（1 分）
∴ ,即 . ………………（2 分）
∵ ,
∴ ,则 . ………………（4 分）
∴椭圆 的方程为 . ………………（5 分）
（Ⅱ）证明:由 得 . ……………（6 分）
如图,设 点的坐标为 ,依题意 且 , ………………（7 分）
即 ,
整理得 . ………………（8 分）
此时 , ,
∴ 点的坐标为 . ……（10分）
由 解得 .
∴ 点的坐标为 . ……（12分）
由 求得 , ,
∴ .
∴直线 垂直于直线 . ………………（14分）
（20）（本题14分）
（Ⅰ）解:当 时,函数 ,
则 . ………………（1 分）
令 ,得 , ,
当 变化时, 的变化情况如下表:
+
-
+
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴ 在 和 上单调递增,在 上单调递减. ……（2 分）
当 时, ,
当 时, . ………………（4 分）
（Ⅱ）解:依题意 ,
即 . 则 . ………………（5 分）
令 ,则 . …（6 分）
当 时, ,故 单调递增（如图）,
且 ；
当 时, ,故 单调递减,且 .
∴函数 在 处取得最大值 . ………………（8 分）
故要使 与 恰有两个不同的交点,只需 .
∴实数 的取值范围是 . ………………（9 分）
（Ⅲ）文科
解:由 ,得 ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是减函数,在 上是增函数.
故 .
对于任意的 , R,不等式 ≤ 恒成立,
则有 ≤ 恒成立.
即不等式 ≤ 对于任意的 恒成立.
,
⑴ 当 时, ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是增函数,在 上是减函数.
∵ ,
∴ 符合题意. ………………（11分）
⑵ 当 时, ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是增函数,在 上是减函数.
由 ≤ ,解得 ≤ ,
∴ ≤ 符合题意.
综上所述,实数 的取值范围是 . ………………（14分）
（Ⅲ）理科
解:由 ,得 ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是减函数,在 上是增函数.
故 .
对于任意的 , R,不等式 ≤ 恒成立,
则有 ≤ 恒成立.
即不等式 ≤ 对于任意的 恒成立.
,
⑴ 当 时, ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是增函数,在 上是减函数.
∵ ,
∴ 符合题意. ………………（10分）
⑵ 当 时, ,
由 ,得 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是增函数,在 上是减函数.
由 ≤ ,解得 ≤ ,
∴ ≤ 符合题意. ………………（12分）
⑶ 当 时, ,由 ,得 , ,
① 当 时, ,
由 ,得 或 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是增函数,与 ≤ 对于任意 恒成立矛盾.
②当 时, ≥ , 在 上是增函数,
与 ≤ 对于任意的 恒成立矛盾.
③ 当 时, ,
由 ,得 或 ；由 ,得 ,
∴ 在 上是增函数,与 ≤ 对于任意 恒成立矛盾.
综上所述,实数 的取值范围是 . ………………（14分）
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