湛江市2015届高三下学期普通高考测试（二）
数学（文）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2、某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一 人、高二 人、高三 人中抽取 人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
3、已知向量 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4、已知 是复数， 是虚数单位，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5、“ ”是“直线 与圆 相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6、等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7、函数 的一条对称轴是（ ）
A． B．
C． D．
8、一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为 的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（ ）
A． B． C． D．
9、运行如图的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）
A． B． C． D．
10、对于任意正整数 ，定义“ ”如下：
当 是偶数时， ；
当 是偶数时， ；
且有 ．
则如下四个命题：
① ；② ；
③ 的个位数是 ；④ 的个位数是 ．
其中正确的命题有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）
（一）必做题（11～13题）
11、若函数 是偶函数，则 ．
12、双曲线 的离心率是 ．
13、某所学校计划招聘男教师 名，女教师 名， 和 须满足约束条件 ，则该校招聘的教师最多是 名．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）直线 的参数方程为 （ 为参数），则直线 的倾斜角是 ．
15、（几何证明选讲选做题）如图，在梯形 中， ， ， ，点 、 分别在 、 上，且 ，若 ，则 的长是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）设函数 （ ）的最小正周期为 ．
求 的值；
记 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，且 ，求 的值．
17、（本小题满分12分）某学校对学生进行三项身体素质测试，每项测试的成绩有 分、 分、 分，若各项成绩均不小于 分且三项测试分数之和不小于 分的学生，则其身体素质等级记为优秀；若三项测试分数之和小于 分，则该学生身体素质等级记为不合格．随机抽取 名学生的成绩记录如下表：
学生编号
三项成绩 2，1，2 1，2，2 2，3，3 3，1，1 3，2，2 2，3，1 3，3，3 1，1，1 3，3，1 2，2，2
利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；
从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取 人组成小组加强锻炼，求这 人三项测试总分相同的概率．
18、（本小题满分14分）在边长为 的正方形 中， 、 分别是 、 的中点， 、 分别是 、 的中点．将该正方形沿 、 、 折叠，使 、 、 三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．
证明： 平面 ；
证明： 平面 ；
求四棱锥 的体积．
19、（本小题满分14分）数列 的前 项和记为 ，对任意正整数 ，均有 ，且 ．
求 ， 的值；
求数列 的通项公式；
若 （ ），求数列 的前 项和 ．
20、（本小题满分14分）已知以原点 为中心的椭圆 上一点到两焦点 ， 的距离之和为 ．
求椭圆 的方程；
设 、 是椭圆 上两点，且 ，求点 到弦 的距离．
21、（本小题满分14分）已知函数 ， （ 为常数， ），且函数 在 处的切线和 在 处的切线互相平行．
求常数 的值；
若存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围；
对于函数 和 公共定义域内的任意实数 ，把 的值称为两函数在 处的偏差．求证：函数 和 在其公共定义域内的所有偏差都大于 ．
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