2015年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学试题卷
本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150
分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷
时只交答题卡．
第I卷
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
1、设i是虚数单位，复数 ，则｜z｜＝
A.1 B. C. D. 2
2.集合U=｛0，1，2，3，4｝，A=｛1，2｝，B＝｛x Z｝x2一5x+4<0｝，则C u(AUB)＝
A. { 0，1，3，4} B.｛1，2，3｝ C.｛0，4｝ D. { 0｝
3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m,n的比值 ＝
A.1 B. C. D.
4．某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程
中各至少选一门，则不同的选法共有
A. 3种 B. 6种 C. 9种 D.18种
5.如图y= f (x)是可导函数，直线l: y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线，令g(x)=xf(x),g (x）是g(x)的导函数，则g （3）＝
A. －1 B. 0 C. 2 D. 4
6.有四个关于三角函数的命题：
p1：sinx=siny =>x+y= 或x=y，
其中真命题是
A. p1，p3 B. p2，p3 C.p1，p4 D. p2，p4
7.若实数x、y满足 ，且x=2x+y的最小值为4，则实数b的值为
A.1 B. 2 C. D. 3
8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为
A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
9.已知函数f（x）＝ ，函数g(x) = f (x）一2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
A.［一1，3) B.〔-3，一1〕 C.［-3，3） D.［一1，1)
10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，已知sin （B十A）＋sin（B－A）＝
3sin2A，且 ，则△ABC的面积是
11.如图，矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成
△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是
A.｜BM｜是定值 B．点M在某个球面上运动
C.存在某个位置，使DE⊥A1 C D.存在某个位置，使MB//平面A1DE
12.已知双曲线 的左、右焦点分别是Fl，F2，过F2的直线交双
曲线的右支于P,Q两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且3｜PF2｜=2 ｜QF2｜，则该双曲线的离心率为
A、 B、 C、2 D、
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题．每个试题考生都必须作答．第
22-24题为选考题．考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知点A(－1，1）、B(0,3）、C(3，4），则向量 在 方向上的投影为 ．
14.已知实数m是2和8的等比中项，则抛物线y=mx2的焦点坐标为
15.执行如图所示的程序框图，输出的S值是 ．
16.已知偶函数y= f (x)对于任意的x 满足f (x)cosx＋f(x)sinx>0(其中f (x)是函数f (x)的导函数），则下列不等式中成立的有
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、或演算步骤
17.（本小题满分12分）
已知等差数列｛ ｝的各项均为正数， =1，且 成等比数列．
（I）求 的通项公式，
（II）设 ，求数列｛ ｝的前n项和Tn.
18.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA1 C1C, ∠A1AC=600, ∠BCA=900.
（I）求证:A1B⊥AC1
（II）已知点E是AB的中点，BC=AC，求直线EC1与平面平ABB1A1所成的角的正弦值。
19.（本小题满分12分）
某商场每天（开始营业时）以每件150元的价格购人A商品若千件(A商品在商场的保
鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时），并开始以每件300元的价格出售，
若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A商品将以每件100元的价格低
价处理完毕（根据经验,4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再
购进A商品）．该商场统计了100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格
（注：视频率为概率）．（其中x＋y＝70)
（I）若某天该商场共购人6件该商品，在前6个小时中售出4件．若这些产品被6名
不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格
购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是多少？
（II）若商场每天在购进5件A商品时所获得的平均利润最大，求x的取值范围．
20.（本小题满分12分）
设椭圆C： ，F1，F2为左、右焦点，B为短轴端点，且S△BF1F2＝4，离
心率为 ,O为坐标原点．
（I）求椭圆C的方程，
（B）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点M,
N,且满足 ？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)=ax＋ln(x－1)，其中a为常数．
（I）试讨论f (x)的单调区间，
(II)若 时，存在x使得不等式 成立，求b的取值范围．
请考生在第22,23,24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分．做答
时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4--1：几何证明选讲
奴图，已知圆O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.
（I）求证：AC•BC=AD•AE;
（II）若AF=2, CF=2 ，求AE的长
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为 为参数），
若以直角坐标系中的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标
方程为 （t为参数）．
（I）求曲线M和N的直角坐标方程，
（11）若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数f(x)=｜3x+2｜
（I）解不等式 ，
（B）已知m+n=1(m,n>0)，若 恒成立，求实数a的取
值范围．
2015年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题
BCDC BDDC ADCA
二、填空题
（Ⅱ） ， ……… 8分
所以 . ……… 12分
18. （1）证明：取 中点 ，连接 ，
因为平面 平面 ， ，
所以 平面
所以 .
又 ，
所以 平面 ，
所以 .……… 4分
在菱形 中， .
所以 平面 ，
所以 . ……… 6分
（2）以点 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
， ，
设 是面 的一个法向量，
则 ，
即
取 可得 ……… 10分
又 ,所以 ，
所以直线 与平面 所成的角的正弦值
= . ……… 12分
19.解：（1）恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个以100元价格购买的顾客的概率是A,
则 ……… 3分
（2）设销售A商品获得的利润为 （单位：元）,
依题意, 视频率为概率，为追求更多的利润，
则商店每天购进的A商品的件数取值可能为4件，5件，6件.
当购进A商品4件时，
当购进A商品5件时，
当购进A商品6件时，
= ……… 9分
由题意 ，解得 ，又知 ，
所以x的取值范围为 ， . ……… 12分
20.解:（1）因为椭圆 ,由题意得
, ， ，
所以解得所以 椭圆 的方程为 ……… 4分
（2）假设存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ,因为 ，所以有 ,
设 ，
当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为 ，解方程组
得 ,即 ,
则△= ,即
……… 6分
要使 ,需 ,即 ,
所以 ,所以 又 ,所以 ,
所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,
所以圆的半径为 , , ,
所求的圆为 , ……… 10分
此时圆的切线 都满足 或 ,
而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点
为 或 满足 ,
综上, 存在圆心在原点的圆 满足条件. . ……… 12分
21.解：（1）由已知得函数 的定义域为
=
当 时， 在定义域内恒成立， 的单调增区间为 ，
当 时，由 得
当 时， ；当 时，
的单调增区间为 ，减区间为 .……… 5分
（2）由（1）知当 时， 的单调增区间为 ，减区间为 .
所以
所以 恒成立，当 时取等号.
令 = ，则 ……… 7分
当 时， ；当 时，
从而 在 上单调递增，在 上单调递减
所以， ……… 10分
所以，存在 使得不等式 成立
只需
即： ……… 12分
22．（10分）选修4－1：几何证明选讲
解：（1）证明：连结 ，由题意知 为直角三角形.
因为 ， ，
∽ ，
所以 ，即 .
又 ，
所以 . ……… 5分
（2）因为 是圆 的切线，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，又 ，所以 ∽ .
所以 ，得
……… 10分
23．（10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解（1）由
得 ，
所以曲线 可化为 ， ，
由 得 ，
所以 ，所以曲线 可化为 . ……… 5分
（2）若曲线 ， 有公共点，则当直线 过点 时满足要求，此时 ，并且向左下方平行运动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立 ，得 ，
，解得 ，综上可求得 的取值范围是 . ……… 10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解：（I）不等式 ，即 ，
当 时，即 解得
当 时，即 解得
当 时，即 无解，
综上所述 .……… 5分
（Ⅱ） ，
令
时， ，要使不等式恒成立，
只需 即 . ……… 10分
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