2015届（安徽省）“江淮十校”高三4月联考
数学（文科）
一，选择题
1，已知集合A={x∈Z | -1≤x≤2},集合B={y | y= } ,则A∩B=
A.{-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1,2} D.
2，已知f(x)=x3-1,设i是虚数单位，则复数 的虚部为
A.-1 B.1 C.i D.0
3,若点M在△ABC的边AB上，且 ，则
A. B. C. D.
4，双曲线C的实轴和虚轴分别是双曲线16x2-9y2=144的虚轴和实轴，则C的离心率为
A. B. C. D.
5，某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. 12π+15 B. 13π+12 C. 18π+12 D. 21π+15
6，若P（x,y）∈ 则事件P（x,y）∈{（x,y）| (x-1)2+(y-1)2≤1}的概率是
A. B. C. D.
7,某同学在社会实践中，为了测量一湖泊两侧A、B间的距离，某同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了四种测量方案（△ABC的内角A、B、C所对的边分别记为 a、b、c）：
①测量A、C、b ②测量a、b、C ③测量A、B、a ④测量a、b、B
则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
8，执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：y=lnx-x、y=tanx-x、y=-2x 、y=-x —1，则输出的函数为
A.y=lnx-x B. y=tanx-x C. y= -2x D. y=-x —1
9，二次函数f(x)的图像经过点（0， ），且f ’(x)= -x -1,则不等式f(10x)>0的解集为
A. (-3，1) B.( -lg3 , 0) C.( , 1 ) D. (-∞， 0 )
10，已知向量a、b的夹角为θ，|a+b|=2，则θ的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题
11，已知角α的顶点在坐原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点为A ，则 = （用数值表示）
12，某脑科研究机构对高中学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得到下表数据
X 6 8 10 12
y 2 3 5 6
由散点图可以看出x与y具有线性关系，若回归直线方程为 ，则 =
13，函数f(x)=ex+x(x∈R)可表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(0)=
14，将正整数1,2,3，……，n,……，排成数表如图所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行、第j列的数可用（i,j）表示，则2015可表示为
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第6列 第7列 第8列 ……
第1行 1 2 3
第2行 9 8 7 6 5 4
第3行 10 11 12 13 14 15 16 17 ……
……
15，函数f(x)上任意一点A（x1,y1）处的切线l1，在其图像上总存在异与点A的点B(x2,y2),使得在点B处的切线l2满足l1// l2，则称函数具有“自平行性”，下列有关函数f(x)的命题：
①函数f(x)=sinx+1具有“自平行性” ②函数f(x)=x3(-1≤x≤2)具有“自平行性”
③函数f(x)= 具有“自平行性”的充要条件为函数m=1;
④ 奇函数y= f(x) (x≠0)不一定具有“自平行性” ⑤偶函数y= f(x)具有“自平行性”
其中所有叙述正确的命题的序号是
三、解答题
16.（12分）
已知向量m=( sinx, sinx),n=(cosx, -sinx),且f(x)=2m•n+2。
（I） 求函数f(x)的最大值，并求此时x 的取值；
（II） 函数f(x)图像与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x 轴的第二个交点分别记为P、Q、R，求 的值。
17，(12分)
已知等差数列{an}的公差不为零，a1 =3，且a1，a2，a4成等比数列.
（I）求{an}的通项公式；
(II)数列{ }是以a1为首项，3为公比的等比数列，求数列 的前n项和Sn
18，（12分）
某校在寒假放假之前举行主题为“珍惜生命，安全出行”的“交通与安全”知识宣传与竞赛活动，为了了解本次活动举办效果，从全校学生的答卷中抽取了部分学生的答卷成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容积为n）进行统计。按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100),的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60), ……, [90,100)的数据）。
（I）求n、x、y的值，并根据频率分布的直观图估计这次竞赛的平均成绩；
（II）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到市政广场参加市团委举办的宣传演讲活动，求所抽取的2同学来自不同组的频率。
19，（13分）
如图，四棱锥S—ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB=2，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N。
（I）求证：SB//平面ACM；
（II）求证：直线SC⊥平面AMN;
（III） 求几何体MANCD的体积。
20.（13分）
已知函数f(x)=ex-mx-n(m、n∈R)
（I） 若函数f(x)在x=0处的切线过点（1,0），求m+n的值；
（II） 当n=0时，讨论函数f(x)在区间[-1， ∞）的单调性，并求最值。
21，（13分）
已知椭圆E： （a>b>0）的一焦点F在抛物线y2=4x 的准线上，且点M（1， ）在椭圆上
（I）求椭圆E的方程；
（II）过直线x= -2上一点P作椭圆E的切线，切点为Q，证明：PF⊥QF。
文科数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B D C C A A B D C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.
题号 11 12 13 14 15
答案
①③④
⒖【答案】①③④.
【解析】函数 具有“自平行性”，即对定义域内的任意自变量 ，总存在 ，使得 .对于①， ，满足条件，故①正确；对于②， ，对任意 ，不存在 ，使得 成立，故②错误；对于③，当 时， ，而 时， ，则 解得 （舍去）或 ，则 ，故③正确；对于④， 不符合定义，故④正确；对于⑤，同④，其导函数为奇函数，故⑤不正确.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 解答写在答题卡上的指定区域内.
⒗（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
，……………………………………………………………………4分
故当 ，即 时， ； ……………………………………6分
（Ⅱ）由 ，知 .
由 ，得 ，此时 ，则 .………………………8分
而由 ，得 ，则 ，故 ，……………………10分
从而 ， ，因此 . ………………………12分
⒘（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设的公差为 ，由题意， ，即 ………………………2分
于是
因为 ，且 ，所以 . …………………………………………………4分
故 . ……………………………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，……………………………………………………………6分
又数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ， ………7分
所以 ，即 . ………………………………………………………8分
因此 ①
则 ② ……………………………………………10分
由①-②得
因此 . ……………………………………………………………………12分
⒙（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意可知， ， ，………………………2分
， …………………………………………………3分
平均分约为 ．……………………5分
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90)有5人，分别记为 ，分数在[90，100)有2人，分别记为F，G．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有如下种情形： ，
，共有21个等可能基本事件；……………………………………………………………………………………9分
其中符合“抽取的2名同学来自不同组”的基本事件有(a，F)，
(a，G)，(b，F)，(b，G)，(c，F)，(c，G)，(d，F)，(d，G)，(e，F)，(e，G)，共10个，……11分
所以抽取的2名同学来自不同组的概率 .……………………………………………………12分
⒚（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：连结 交 于 ，连结 ．
是正方形，∴ 是 的中点．
是 的中点，∴ 是△ 的中位线．
∴ ． 2分
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ． 4分
（Ⅱ）证明：由条件有
∴ 平面 ，∴ …………………………6分
又∵ 是 的中点，∴
∴ 平面 ∴ …………………………………………………8分
由已知 ，∴ 平面 . …………………………………………………9分
解：（Ⅲ） 平面 ，几何体 为四棱锥 .由（Ⅱ）知 为点 到平面 的距离. ……………………………………………………10分
因为 ，则 ， ， .
因为 平面 ，则 ，故 ， ，因此 ，……………………………………………………12分
则 . ……………………………………………………13分
⒛（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意，得 ， …………………………………………………1分
所以函数 在 处的切线斜率 ， …………………………………………………2分
又 ，所以函数 在 处的切线方程 ， ………………………4分
将点 代入，得 . …………………………………………………6分
（Ⅱ）当 时，函数 的定义域为 ， .因为 ，所以 .
①当 时， ，函数 在 上单调递增，从而 ，无最大值； …………………………………………………9分
②当 时，由 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以函数 在 上有最小值为 ，无最大值. …………………………12分
综上知：当 时，函数 在 上单调递增，有最小值 ，无最大值；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，有最小值为 ，无最大值. …………………………………………………13分
21. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）抛物线 的准线为 ，则 ，即 .……………………………………2分
又点 在椭圆上，则 ，解得 ， ……………………………………4分
故求椭圆 的方程为 .………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设 、 .
依题意可知切线 的斜率存在，设为 ，则 ： ，并代入到 中，整理得：
………………………………………………………………………8分
因此 ，即 .……………………………………………9分
从而 ， ，则 ；…………………………10分
又 ，则 ， .…………………11分
由于 ，故 ，即 .………………13分
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