张掖市高三年级2015年4月诊断考试
数学（理科）试卷
命题人：临泽一中 刘 义 审题人：临泽一中 魏正清 终审人：山丹一中 何 涛
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,总分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题,共6 0分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填图在答题卡上）
1.设全集是实数集R， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.设 是虚数单位，若复数 满足 ，则复数 （ ）
A． B． C． D．
3. 在 中， 则AC为（ ）
A． B. 1 C. 2 D.
4.如图是一个四棱锥在空间直角坐标系 、 、
三个平面上的正投影，则此四棱锥的体积为（ ）
A．94 B．32 C．64 D．16
5.如图所示的程序框图, ，则输出的S值为（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．1
6.已知直线 平面 ，直线 平面 ，给出下列命题：（1）
（2） ，（3） ，（4） ，其中正确的是（ ）
A. (1)(2)(3) B. (2)(3)(4) C.(2)(4) D.(1)(3)
7.已知抛物线C： 上一点M 到抛物线C的焦点的距离为5，则 的展开式中的常数项为（ ）
A. -24 B. -6 C. 6 D. 24
8.下列说法正确的是 （ ）
A．命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B．命题 “函数 与函数 的图象相同”是真命题
C．命题：“设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝0.6826”的逆否命题是真命题。
D.命题“若 ，则函数 只有一个零点”的逆命题为真命题
9. 同时具有性质①最小正周期是 ；②图像关于直线 对称；③在 上是增函数的一个函数是（ ）
A． B． C． D．
10.圆心在曲线 上，且与直线 相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
11.已知 ， 是椭圆 的左右两个焦点， 为椭圆上的一点，且 ，则椭圆的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.已知 函数则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（注：e为自然对数的底数）（ ）
A. B. C. D.
第II卷（共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共4个小题, 每小题5分,共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上）
13.某用人单位从甲、乙、丙、丁共4名应聘者中招聘2人，若每个应聘者被录用的机会均等，
则甲、乙2人中至少有1人被录用的概率为 ．
14. 设实数 满足约束条件 ，则点 所在平面区域的面积为___________.
15.设实数 满足 ，向量 ．若 ，则实数 的最小值为 ．
16.如图，在四棱锥 中， 两两互相垂直，且 设 是底面三角形ABC内一点，定义 其中 分别是三棱锥 的体积.
若 且 恒成立，则正实数 的最小值是_______________.
三、解答题（本大题共6个小题, 共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（12分）已知数列 满足： , ， .
（1）求证： 是等差数列，并求出 ；
（2）证明： .
18.（12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面 为正三角形，且 ，点A在下底面的射影是 的中心O.
（1）求证： ;
（2）求二面角 的平面角的余弦值.
19.（12分）经调查统计，网民在网上光顾某淘宝小店，经过一番浏览后，对该店铺中的A,B,C三种商品有购买意向.该淘宝小店推出买一件送5元优惠券的活动.已知某网民购买A，B，C商品的概率分别为 ， 至少购买一件的概率为 ，最多购买两件种商品的概率为 .假设该网民是否购买这三种商品相互独立.
（1）求该网民分别购买A,B两种商品的概率；
（2）用随机变量X表示该网民购买商品所享受的优惠券钱数，求X的分布列和数学期望.
20.（12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，且过点（1， ）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆 相切的直线 交椭圆C与A,B两点，M为圆 上的动点，求 面积的最大值，及取得最大值时的直线 的方程.
21.（12分）已知函数 .
（1）证明： ；
（2）若当 ， 恒成立，求实数 的取值范围.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22. （10分）《选修4—1：几何证明选讲》
如图： 是⊙ 的直径， 是弧 的中点，
，垂足为 ， 交 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ，⊙ 的半径为6，求 的长.
23. （10分）《选修4—4：参数方程选讲》
已知平面直角坐标系 中,以 为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 点的极坐标为 , 曲线 的极坐标方程为 .
(1)写出点 的直角坐标及曲线 的普通方程；
(2)若 为 上的动点,求 中点 到直线 ( 为参数)距离的最大值.
24. （10分）《选修4—5：不等式选讲》
已知函数 .
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）若 证明： .
张掖市高三年级2015年4月诊断考试
理科数学参考答案
一、ADBBA DDBCA DB
二、13. 14. 15. -2 16. 1
三、
17.（1）得出 ——————————2分
为首项，2为公差的等差数列——3分
——————————————4分
——————————————6分
（2）
——――――――8分
—――—10分
—――—12分
18．法一：（1）得出B1C1垂直与面AA1O————4分
得出 ————————6分
（2）过B1做B1E垂直与AA1连结C1E，角B1EC1就是所求二面角————8分
由等面积法得出B1E= ，————————————10分
由余弦定理得出 ————————————12分
法二：（1）向量法：建系2分，坐标2分，证明2分。
（2）两个法向量各2分，
————————12分
如图建系
设 , ,
则 , ,
,
平面 的法向量为 ―――――2分
平面 的法向量为 ―――――4分
故所求二面角的平面角的余弦值为 ―――――6分
19.（1） ——————————4分
——-————————6分
（2）X＝0,5，10,15
――――――――8分
X 0 5 10 15
P 1/24 1/4 11/24 1/4
——————————————10分
E(x)=115/12————————12分
20. 解析：（1）由题意可得： ——————————————2分
————————————4分
（2）①当k不存在时， ——————5分
②当k存在时，设直线为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)
——————————7分
—————————8分
———————10分
，
, ————————————12分
21. （1） ————————————2分
————————4分
——---------------------------5分
（2）令
令 ——————————7分
（1）a<0时，
与已知矛盾；
（2）a=0, 与已知矛盾；---9分
(3)
与已知矛盾；
(4)
恒成立。————————————————11分
综上所述： ——————————————————-12分
法二：
（1） x=0, 成立，——————————6分
（2） x>0时，
————————————7分
——---------8分
只需证明
令
，y=g(x)递减， 恒成立，
即 恒成立————————————11分
总上所述： ——————————12分
22.（Ⅰ）证法一:连接CO交BD于点M，如图1 …………1分
∵C为弧BD的中点，∴OC⊥BD
又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ………………2分
∴∠OCE=∠OBM ……………………………3分
又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC …………………………4分
∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF ……………………………………5分
证法二：延长CE 交圆O于点N，连接BN，如图2……………………………1分
∵AB是直径且CN⊥AB于点E.
∴∠NCB=∠CNB……………………………………2分
又∵C为弧BD的中点 ∴∠CBD=∠CNB……3分
∴∠NCB=∠CBD
即∠FCB=∠CBF………………………………………………………………4分
∴CF=BF…………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）∵O,M分别为AB,BD的中点
∴OM=2OE ∴EB=4 ……………………………………………7分
在Rt△COE中， …………………………………9分
∴在Rt△CEB中， ………………………………10分
23.解析：(1) ，
点 的直角坐标为 ………………………………………2分
由 得： 即
曲线 的普通方程为: ………………………………………5分
(2)由 可得直线 的普通方程为 ………………6分
由曲线 的普通方程: 可设点
则点 坐标为 ………………………………………7分
点 到直线 的距离 ………8分
当 =1时， 取得最大值
点 到直线 距离的最大值为 。 ………………………………………10分
24．
解析：(1) ……………………3分
……………………5分
(2) 证明：
…………9分
……………………10分
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