点击下载：陕西省黄陵中学2017届高三4月月考 数学理
2017年高考全国统一考试全真模拟试题（二）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知是实数集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
3.在中，分别在上，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
4.下列命题中正确命题的个数是（ ）
（1）对于命题，使得，则，均有；
（2）命题“已知，若，则或”是真命题；
（3）回归直线的斜率的估计值为，样本点的中心为，则回归直线方程为；
（4）是直线与直线互相垂直的充要条件.
A． B． C. D．
5.如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为（ ）
A． B． C. D．
6.执行如下图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A． B． C. D．
7.已知直线与圆交于两点且，则（ ）
A． B． C. D．
8.已知，则的不同取值个数为（ ）
A． B． C. D．
9.在年至年期间，甲每年月日都到银行存入元的一年定期储蓄，若年利率为保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到年月日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是（ ）
A．元 B．元
C.元 D．元
10.在区间上随机取两个数，则的概率是（ ）
A． B． C. D．
11.若曲线的焦点恰好是曲线的右焦点，且与交点的连线过点，则曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12.已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在平行四边形中，已知，则四边形的面积为 ．
14.在等差数列中，，其前项的和为，若，则 ．
15.如图为某几何体的三视图，则其体积为 ．
16.有限与无限转化是数学中一种重要思想方法，如在《九章算式》方田章源田术（刘徽注）中：“割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”说明“割圆术”是一种无限与有限的转化过程，再如中“...”即代表无限次重复，但原式却是个定值，这可以通过方程确定出来，类似地可以把循环小数化为分数，把化为分数的结果为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）在中，三内角的对边分别为，已知，成等差数列，且，求的值.
18. 某市对贫困家庭自主创业给予小额贷款补贴，每户贷款额为万元，贷款期限有个月、个月、个月、个月、个月五种，这五种贷款期限政府分别需要补助元、元、元、元、元，从年享受此项政策的困难户中抽取了户进行了调查统计，选取贷款期限的频数如下表：
贷款期限 个月 个月 个月 个月 个月
频数
以商标各种贷款期限的频率作为年贫困家庭选择各种贷款期限的概率.
（1）某小区年共有户准备享受此项政策，计算其中恰有两户选择贷款期限为个月的概率；
（2）设给享受此项政策的某困难户补贴为元，写出的分布列，若预计年全市有万户享受此项政策，估计年该市共要补贴多少万元.
19.如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面平面，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角的大小.
20.已知为椭圆的左右焦点，点为其上一点，且有.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线与椭圆交于两点，过与平行的直线与椭圆交于两点，求四边形的面积的最大值.
21. 已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求实数的值及函数的单调区间；
（2）当时，比较与（为自然对数的底数）的大小.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），将上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的和倍后得到曲线.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.
（1）试写出曲线的极坐标方程与曲线的参数方程；
（2）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求此最小值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知和是任意非零实数.
（1）求的最小值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
2017年高考全国统一考试全真模拟试题（二）
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:ADABA 6-10:CBDDC 11、12：BD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
，
由得，，
故的单调递增区间是.
（2），，，
于是，故.
由成等差数列得：，
由得：，
由余弦定理得：，
于是，.
18.解：（1）由已知一困难户选择贷款期限为个月的概率是，
所以小区年准备享受此项政策的户恰有两户选择贷款期限为个月的概率是
；
（2），，，
所以的分布列是：
（元），
所以估计年该市共要补贴万元.
19.解：（1）证明：因为四边形是菱形，所以.
因为平面平面，且四边形是矩形，所以平面，
又因为平面，所以.
因为，所以平面.
（2）解：设，取的中点，连接，
因为四边形是矩形，分别为，的中点，所以，
又因为平面，所以平面，
由，得两两垂直,所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系.
因为底面是边长为的菱形，，，
所以.
因为平面，所以平面的法向量.
设直线与平面所成角为，由，得
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（2）得，，，
设平面的法向量为，
所以即
令，得，由平面，得平面的法向量为，
则，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为.
20.解：（1）设椭圆的标准方程为，
由已知得，∴，
又点在椭圆上，∴，
椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知，四边形为平行四边形，∴，
设直线的方程为，且，
由得，
∴，
，
令，则，，
又在上单调递增，
∴，∴的最大值为，
所以的最大值为.
21.解：（1）函数的定义域为，，
因为的图象在点处的切线方程为，
所以解得，所以.
所以，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）当时，.证明如下：
因为时，单调递减，且，
又，当时，单调递增，且.
若，则必都大于，且必有一个小于，一个大于.
不妨设，当时，必有.
当时，，
设，
则
因为，所以，故.
又，所以，所以在区间内单调递增，
所以，所以.
因为，，所以，
又因为在区间内单调递增，
所以，即.
综上，当时，.
22.解：（1）由已知得曲线的直角坐标方程是，
所以曲线的极坐标方程是.
根据已知曲线的参数方程伸缩变换得到曲线的参数方程是（为参数）.
（2）设，由已知得直线的直角坐标方程是，
即，所以点到直线的距离
，
当即时，，此时点的坐标是，
所以曲线上的一点到直线的距离最小，最小值是.
23.解：（1）∵对于任意非零实数和恒成立，
当且仅当时取等号，
∴的最小值等于.
（2）∵的最小值，
由（1）可知的最小值等于，
实数的取值范围即为不等式的解，
解不等式得，即的取值范围为.
