绝密★启用前 试卷类型：A
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科） 2015．4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：如果柱体的底面积为 ，高为 ，则柱体的体积为 ；
如果随机变量 服从正态分布 ，则 ，
其中 ， ， 为均值， 为标准差．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．设 为虚数单位，则复数 等于
A． B． C． D．
2．平面向量 ， ，若 ，则 等于
A． B． C． D．
3．下列四个函数中，在闭区间 上单调递增的函数是
A． B． C． D．
4．如图1，已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸，
则该墨水瓶的容积为（瓶壁厚度忽略不计）
A． B．
C． D．
5．若实数 ， 满足约束条件 ,
则 的取值范围是
A． B．
C． D．
6．如图2，在执行程序框图所示的算法时，若输入
， ， ， 的值依次是 ， ， ， ，
则输出 的值为
A． B．
C． D．
7．从 ， ， ， ， ， 这六个数字中任取五个，
组成五位数，则不同的五位数共有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
8．设 是直角坐标平面上的任意点集，定义 ．若 ，则称点集 “关于运算*对称”．
给定点集 ， ， ，
其中“关于运算 * 对称”的点集个数为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．不等式 的解集为 ．
10．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，
则 ．
11．已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，若其渐近线与抛物线 的准线围成的三角形面积为 ，则此双曲线的离心率等于 ．
12．设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 ．
13．已知△ 的内角 、 、 所对的边为 、 、 ，则“ ”是“ ”
的 条件．（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种）．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，已知直线 ： （ 为参数）与曲线 ： （ 为参数）相交于 、 两点，则 _________．
15．（几何证明选讲选做题）如图3， 、 是⊙ 的两条切线，切点分别为 、 ．若 ， ，则⊙ 的半径为 ．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设函数 （其中 ， ）．已知 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若角 满足 ，且 ，求角 的值．
17．（本小题满分12分）
深圳市于2014年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查，结果如下表所示：
申请意向
年龄 摇号 竞价（人数） 合计
电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数）
30岁以下
（含30岁） 50 100 50 200
30至50岁
（含50岁） 50 150 300 500
50岁以上 100 150 50 300
合计 200 400 400 1000
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直，△ 为等边三角形， 为△ 内部一点，点 在 的延长线上，且 ．
（1）证明： ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）若 ， ，求二面角 的余弦值．
19．（本小题满分14分）
设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 成等比数列．
（1）求 ， ， 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 … ．
20．（本小题满分14分）
已知平面上的动点 与点 连线的斜率为 ，线段 的中点与原点连线的斜率为 ， ( )，动点 的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）是否存在同时满足以下条件的圆：①以曲线 的弦 为直径；
②过点 ；③直径 ．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ，对任意的 ，满足 ，
其中 为常数．
（1）若 的图像在 处切线过点 ，求 的值；
（2）已知 ，求证： ；
（3）当 存在三个不同的零点时，求 的取值范围．
2015年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科）试题参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C B D B B
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9． 10． 11． 12． 13．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14．（坐标系与参数方程选做题） 15．（几何证明选讲选做题）
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
设函数 （其中 ， ， ）．已知 时， 取得最小值 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若角 满足 ，且 ，求 的值．
解：（1）由 最小值 且 ，所以 ． …………………………………………1分
因为 ，所以 ， ……………………………………………………2分
由 可得 ，所以 ， ………………………………………3分
所以 ． ……………………………………………………………………………………4分
故 的解析式为 ． …………………………………………………5分
（2）（法1）由（1），得 ，
即 ， ， ……………………8分
所以 或 ． ………………………………………………10分
又 ，所以 ． …………………………………………………11分
所以 ． ………………………………………………………………………12分
（法2）由（1），得 ，
即 ． ………………………………………………………8分
所以 或 ， ． …………………………10分
即 或 ， ．
又 ，所以 ． …………………………………………………………11分
所以 ． ………………………………………………………………………12分
【说明】本题主要考查 的性质，倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值，考查学生的运算能力．
17．（本小题满分12分）
深圳市于2014年12月29日起实施汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半．政策推出后，在全市有购车意向的市民中，某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查，结果如下表所示：
申请意向
年龄 摇号 竞价（人数） 合计
电动小汽车（人数） 非电动小汽车（人数）
30岁以下
（含30岁） 50 100 50 200
30至50岁
（含50岁） 50 150 300 500
50岁以上 100 150 50 300
合计 200 400 400 1000
（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，求其中各种意向人数；
（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；
（3）用样本估计总体，在全体有购车意向的市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ，求 的分布列和数学期望．
解：（1）因为30至50岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的比例分别为： 、 、 ． ………………………………………2分
所以，抽取的人10人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为：
人、 人、 人． ……………………………………4分
（2）由题意可知，在上述10人中有竞价申请意向的人数为 人，
所以，4人中恰有2人竞价申请意向的概率为 ． …………………………………6分
（3） ， 的可能取值为 ． ………………………………………7分
因为用样本估计总体，任取一人，其摇号电动小汽车意向的概率为 ，……………8分
所以，随机变量 服从二项分布，即 ～ ． …………………………………………9分
， ，
， ，
．
即 的分布列为：
……………………………………………………………………………11分
的数学期望为： ． …………………………………………12分
【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识，考查了考生读取图表、数据处理的能力．
18．（本小题满分14分）
如图4，已知三棱锥 的三条侧棱 ， ， 两两垂直，△ 为等边三角形， 为△ 内部一点，点 在 的延长线上，且 ．
（1）证明： ；
（2）证明：平面 平面 ；
（3）若 ，求二面角 的余弦值．
证明：（1）因为 ， ， 两两垂直，
所以 ， ．
又△ 为等边三角形， ，
所以 ，
故 ． …………………………………………………………………………3分
（2）因为 ， ， 两两垂直，
所以， 平面 ，
而 平面 ，所以 ． …………………………………………………………5分
取 中点 ，连结 ， ．
由（1）知， ，所以 ．
由已知 ，所以 ．
所以， 平面 ，
而 平面 ，所以 ． …………………………………………………7分
所以， 平面 ，
又 ，所以，平面 平面 ． …………………………………………9分
解：（3）（法一）由（2）知 平面 ，
所以平面 平面 ，
且平面 平面 ，
过点 作 平面 ，且交 的延长线于点 ，连接 ，
因为 ， ，
由（1）同理可证 ，
在△ 中， ，
所以 ，又因为 ，
所以 平面 ，
所以 为二面角 的平面角， ………………………………………………11分
在直角△ 中， ， ……………………………………………………12分
由（2）知 ，所以△ 为等腰直角三角形，
所以 ，所以 ，
所以，二面角 的余弦值为 ． …………………………………………………14分
（法2）如图6，以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系．
由（1）同理可证 ， 设 ，则 ， ， ， ， ．
设 ，其中 ， ， ．
由 ， ．
由（2）知 ，且 ， ，
得 ．
解之，得 ， ． ……………………………11分
所以，
设平面 的法向量为 ，
由 ， ，得 ．
取 ，得 ， ．
由（2）知，平面 的法向量为 ， ………………………………………13分
记二面角 的平面角为 ，由图可得 为锐角，
所以 ．
所以，二面角 的余弦值为 ． ……………………………………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系，线面垂直、面面垂直的判定与性质，用空间向量求二面角，考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．
19．（本小题满分14分）
设数列 的前 项和为 ，满足 ， ，且 成等比数列．
（1）求 ， ， 的值；
（2）设 ， ，求数列 的通项公式；
（3）证明：对一切正整数 ，有 … ．
解：（1）由已知，得 …………………………………………2分
解之，得 ， ， ． …………………………………………………4分
（2）（法1）因为 ， ， ……①
所以 ，其中 ． ……②
① ②，并整理得 ， ， ……………………………6分
即 ， ．
所以， 相加，得 ． ……………………………8分
由（1）知 ，所以 ，所以 时， ， ……………………9分
又 ， 也符合上式，
所以，数列 的通项公式为 ， ． …………………………………10分
（法2）因为 ， ， ……①
所以 ，其中 ． ……②
① ②，并整理得 ， ，
即 ， ． ……………………………………………………………6分
由（1）知 ， ， ．
可得 ， ， ．
猜想 ， ． …………………………………………………………8分
以下用数学归纳法证明之：
（i）当 时或 时，猜想显然正确．
（ii）假设 （ ）时，猜想正确，即 ．
那么 时，
．
即 时，猜想也正确．
由（i）（ii），根据数学归纳法原理，对任意的 ，猜想正确．
所以，数列 的通项公式为 ， ． …………………………………10分
（3）对一切正整数 ，因为 ， …………12分
所以， … …
…
． ………………………………………14分
【说明】本题主要考查等比数列的定义，处理 与 的递推公式，用累加法求数列通项，数学归纳法，理解裂项求和，考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力．
20．（本小题满分14分）
已知动点 和定点 ， 的中点为 ．若直线 ， 的斜率之积为常数 (其中 为原点， )，动点 的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）曲线 上是否存在两点 、 ，使得△ 是以 为顶点的等腰直角三角形？若存在，指出这样的三角形共有几个；若不存在，请说明理由．
解：（1）设直线 ， 的斜率分别为 ， ，因为 ， ………………1分
所以 （ ）， （ ）， ……………………………………3分
由 可得： （ ）， ……………………………………4分
化简整理可得 （ ），
所以，曲线 的方程为 （ ）． ………………………………………5分
（2）由题意 ，且 ，当直线 的斜率为 ，则 与 重合，不符合题意，
所以直线 、 的斜率都存在且不为 ，设直线 的斜率为 ，
所以直线 的斜率为 ，不妨设 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，………………………6分
将直线 和曲线 的方程联立，得 ，消 整理可得 ，
解得 ，所以 ，
以 替换 ，可得 ， …………………………8分
由 ，可得 ， ………………………………9分
所以 ，即 ，……………………………10分
（1）当 时，
方程 有 ，
所以方程 有唯一解 ； ……………………………11分
（2）当 时， ，解得 ； ………12分
（3）当 时，方程 有 ，
且 ，
所以方程 有三个不等的根．
综上，当 时，有一个圆符合题意；当 时，有三个符合题意的圆．
……………………………………………………………………………………14分
（注：（3）也可直接求解：
当 时， 方程 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，故方程 有三个不等的根．）
【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问题，考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ，对任意的 ，满足 ，
其中 为常数．
（1）若 的图象在 处的切线经过点 ，求 的值；
（2）已知 ，求证： ；
（3）当 存在三个不同的零点时，求 的取值范围．
解：（1）在 中，取 ，得 ，
又 ，所以 ． ……………………………………1分
从而 ， ， ．
又 ，
所以 ， ． ………………………………………………………………3分
（2） ．
令 ，则 ．
所以， 时， ， 单调递减， …………………………………5分
故 时， ．
所以， 时， ． ……………………………………………………7分
（3） ．
①当 时，在 上， ， 递增，
所以， 至多只有一个零点，不合题意； …………………………………………8分
②当 时，在 上， ， 递减，
所以， 也至多只有一个零点，不合题意； ……………………………………10分
③当 时，令 ，得 ， ．
此时， 在 上递减， 上递增， 上递减，
所以， 至多有三个零点． …………………………………………………………12分
因为 在 上递增，所以 ．
又因为 ，所以 ，使得 ． ……………………………13分
又 ， ，
所以 恰有三个不同的零点： ， ， ．
综上所述，当 存在三个不同的零点时， 的取值范围是 ． ………………14分
【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点，二次方程根的分布等知识，考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.
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